Номер 7.27, страница 53, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

7.27. Решите уравнение:

1) $ (\sqrt{3})^x - 2 \cdot (\sqrt{3})^x - 2 = 0 $

2) $ 6 \cdot \sqrt[x]{9} - 13 \cdot \sqrt[x]{6} + 6 \cdot \sqrt[x]{4} = 0 $

1) Исходное уравнение: $\sqrt[x]{3} - 2\sqrt[2x]{3} - 2 = 0$.

Обозначим $y = \sqrt[2x]{3}$. Тогда $\sqrt[x]{3} = (\sqrt[2x]{3})^2 = y^2$. Заметим, что по определению корня, $\text{y}$ должен быть положительным ($y > 0$).

Подставим $\text{y}$ в уравнение, чтобы получить квадратное уравнение:

$y^2 - 2y - 2 = 0$.

Решим это уравнение с помощью формулы для корней квадратного уравнения $y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$:

Дискриминант $D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 4 + 8 = 12$.

$y_{1,2} = \frac{2 \pm \sqrt{12}}{2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{3}}{2} = 1 \pm \sqrt{3}$.

Получаем два возможных значения для $\text{y}$:

$y_1 = 1 + \sqrt{3}$

$y_2 = 1 - \sqrt{3}$

Так как $\sqrt{3} \approx 1.732$, то $y_2 = 1 - \sqrt{3} < 0$. Этот корень не удовлетворяет условию $y > 0$, поэтому мы его отбрасываем.

Остается один корень $y = 1 + \sqrt{3}$.

Сделаем обратную замену:

$\sqrt[2x]{3} = 1 + \sqrt{3}$

Запишем это в виде степени:

$3^{\frac{1}{2x}} = 1 + \sqrt{3}$

Прологарифмируем обе части уравнения по основанию 3:

$\log_3(3^{\frac{1}{2x}}) = \log_3(1 + \sqrt{3})$

$\frac{1}{2x} = \log_3(1 + \sqrt{3})$

Выразим $\text{x}$:

$2x = \frac{1}{\log_3(1 + \sqrt{3})}$

$x = \frac{1}{2\log_3(1 + \sqrt{3})}$

Ответ: $x = \frac{1}{2\log_3(1 + \sqrt{3})}$.

2) Исходное уравнение: $6 \cdot \sqrt[x]{9} - 13 \cdot \sqrt[x]{6} + 6 \cdot \sqrt[x]{4} = 0$.

Представим корни в виде степеней и преобразуем основания:

$\sqrt[x]{9} = \sqrt[x]{3^2} = (\sqrt[x]{3})^2$

$\sqrt[x]{4} = \sqrt[x]{2^2} = (\sqrt[x]{2})^2$

$\sqrt[x]{6} = \sqrt[x]{2 \cdot 3} = \sqrt[x]{2} \cdot \sqrt[x]{3}$

Подставим эти выражения в исходное уравнение:

$6(\sqrt[x]{3})^2 - 13\sqrt[x]{2}\sqrt[x]{3} + 6(\sqrt[x]{2})^2 = 0$.

Это однородное уравнение. Поскольку $\sqrt[x]{2} \neq 0$ для любого действительного $x \ne 0$, мы можем разделить обе части уравнения на $(\sqrt[x]{2})^2$:

$6\frac{(\sqrt[x]{3})^2}{(\sqrt[x]{2})^2} - 13\frac{\sqrt[x]{2}\sqrt[x]{3}}{(\sqrt[x]{2})^2} + 6\frac{(\sqrt[x]{2})^2}{(\sqrt[x]{2})^2} = 0$

$6\left(\frac{\sqrt[x]{3}}{\sqrt[x]{2}}\right)^2 - 13\left(\frac{\sqrt[x]{3}}{\sqrt[x]{2}}\right) + 6 = 0$

$6\left(\sqrt[x]{\frac{3}{2}}\right)^2 - 13\sqrt[x]{\frac{3}{2}} + 6 = 0$.

Сделаем замену. Пусть $t = \sqrt[x]{\frac{3}{2}}$. Уравнение примет вид квадратного:

$6t^2 - 13t + 6 = 0$.

Найдем корни этого уравнения:

$D = (-13)^2 - 4 \cdot 6 \cdot 6 = 169 - 144 = 25$.

$t_{1,2} = \frac{13 \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 6} = \frac{13 \pm 5}{12}$.

Получаем два корня для $\text{t}$:

$t_1 = \frac{13+5}{12} = \frac{18}{12} = \frac{3}{2}$

$t_2 = \frac{13-5}{12} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}$

Теперь выполним обратную замену для каждого из корней.

Случай 1: $t = \frac{3}{2}$

$\sqrt[x]{\frac{3}{2}} = \frac{3}{2}$

$\left(\frac{3}{2}\right)^{\frac{1}{x}} = \left(\frac{3}{2}\right)^1$

Приравнивая показатели степени, получаем:

$\frac{1}{x} = 1 \implies x = 1$.

Случай 2: $t = \frac{2}{3}$

$\sqrt[x]{\frac{3}{2}} = \frac{2}{3}$

$\left(\frac{3}{2}\right)^{\frac{1}{x}} = \left(\frac{3}{2}\right)^{-1}$

Приравнивая показатели степени, получаем:

$\frac{1}{x} = -1 \implies x = -1$.

Таким образом, уравнение имеет два корня.

Ответ: $x = 1; x = -1$.