Номер 7.22, страница 52, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

7.22. Решите уравнение:

1) $2^{x^2-6x+0.5} = \frac{1}{16\sqrt{2}}$;

2) $16\sqrt[5]{8^{x^2-3x-5}} = 128$;

3) $3^{x+1} \cdot 4^x = 0.25 \cdot 12^{2x-1}$;

4) $2^{x^2-3} \cdot 5^{x^2-3} = 0.01 \cdot (10^{x-1})^3$.

1) $2^{x^2 - 6x + 0.5} = \frac{1}{16\sqrt{2}}$

Для решения показательного уравнения приведем обе его части к одному основанию, в данном случае к основанию 2.

Преобразуем правую часть уравнения. Число 16 можно представить как $2^4$, а $\sqrt{2}$ как $2^{0.5}$.

Тогда знаменатель дроби $16\sqrt{2} = 2^4 \cdot 2^{0.5} = 2^{4+0.5} = 2^{4.5}$.

Следовательно, вся правая часть равна $\frac{1}{2^{4.5}} = 2^{-4.5}$.

Теперь исходное уравнение можно переписать в виде:

$2^{x^2 - 6x + 0.5} = 2^{-4.5}$

Так как основания степеней равны, мы можем приравнять их показатели:

$x^2 - 6x + 0.5 = -4.5$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение:

$x^2 - 6x + 0.5 + 4.5 = 0$

$x^2 - 6x + 5 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней $x_1 + x_2 = 6$, а их произведение $x_1 \cdot x_2 = 5$. Отсюда находим корни:

$x_1 = 1$, $x_2 = 5$.

Ответ: 1; 5.

2) $16 \sqrt[5]{8^{x^2-3x-5}} = 128$

Приведем все числовые множители и основания степеней к одному основанию 2.

$16 = 2^4$

$8 = 2^3$

$128 = 2^7$

Подставим эти значения в исходное уравнение:

$2^4 \cdot \sqrt[5]{(2^3)^{x^2-3x-5}} = 2^7$

Используем свойства степеней $(a^m)^n = a^{mn}$ и $\sqrt[k]{a^m} = a^{m/k}$:

$2^4 \cdot 2^{\frac{3(x^2-3x-5)}{5}} = 2^7$

При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются ($a^m \cdot a^n = a^{m+n}$):

$2^{4 + \frac{3(x^2-3x-5)}{5}} = 2^7$

Теперь, когда основания равны, приравниваем показатели:

$4 + \frac{3(x^2-3x-5)}{5} = 7$

Решим полученное уравнение относительно $\text{x}$:

$\frac{3(x^2-3x-5)}{5} = 7 - 4$

$\frac{3(x^2-3x-5)}{5} = 3$

Разделим обе части на 3:

$\frac{x^2-3x-5}{5} = 1$

Умножим обе части на 5:

$x^2-3x-5 = 5$

$x^2-3x-10 = 0$

Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 9 + 40 = 49 = 7^2$

Находим корни:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 + 7}{2} = \frac{10}{2} = 5$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 - 7}{2} = \frac{-4}{2} = -2$

Ответ: -2; 5.

3) $3^{x+1} \cdot 4^x = 0.25 \cdot 12^{3x-1}$

Преобразуем уравнение, используя свойства степеней и приводя числа к удобным основаниям. Заметим, что $12 = 3 \cdot 4$ и $0.25 = \frac{1}{4} = 4^{-1}$.

Преобразуем левую часть: $3^{x+1} \cdot 4^x = 3^1 \cdot 3^x \cdot 4^x = 3 \cdot (3 \cdot 4)^x = 3 \cdot 12^x$.

Преобразуем правую часть: $0.25 \cdot 12^{3x-1} = 4^{-1} \cdot 12^{3x-1}$.

Уравнение принимает вид:

$3 \cdot 12^x = 4^{-1} \cdot 12^{3x-1}$

Сгруппируем члены со степенью 12 в одной части уравнения, а числовые коэффициенты — в другой. Для этого разделим обе части на $12^x$ (это возможно, так как $12^x > 0$ при любом $\text{x}$) и умножим на 4.

$3 \cdot 4 = \frac{12^{3x-1}}{12^x}$

Используем свойство частного степеней $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:

$12 = 12^{(3x-1) - x}$

$12^1 = 12^{2x-1}$

Приравниваем показатели степеней:

$1 = 2x - 1$

$2 = 2x$

$x = 1$

Ответ: 1.

4) $2^{x^2-3} \cdot 5^{x^2-3} = 0.01 \cdot (10^{x-1})^3$

Упростим обе части уравнения, используя свойства степеней.

В левой части показатели степеней одинаковы, поэтому можно перемножить основания, используя свойство $a^n \cdot b^n = (ab)^n$:

$2^{x^2-3} \cdot 5^{x^2-3} = (2 \cdot 5)^{x^2-3} = 10^{x^2-3}$.

В правой части представим $0.01$ как степень 10 и упростим выражение со скобками.

$0.01 = \frac{1}{100} = 10^{-2}$.

$(10^{x-1})^3 = 10^{3(x-1)} = 10^{3x-3}$.

Тогда правая часть равна произведению степеней: $10^{-2} \cdot 10^{3x-3} = 10^{-2 + 3x - 3} = 10^{3x-5}$.

Теперь уравнение имеет вид:

$10^{x^2-3} = 10^{3x-5}$

Поскольку основания степеней равны, приравниваем их показатели:

$x^2 - 3 = 3x - 5$

Переносим все члены в левую часть для получения стандартного квадратного уравнения:

$x^2 - 3x - 3 + 5 = 0$

$x^2 - 3x + 2 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней $x_1 + x_2 = 3$, а их произведение $x_1 \cdot x_2 = 2$. Корни легко находятся подбором:

$x_1 = 1$, $x_2 = 2$.

Ответ: 1; 2.