Номер 7.15, страница 51, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

7.15. Решите систему уравнений:

1) $ \begin{cases} 3^{2x} - 2^y = 725, \\ 3^x - 2^{0.5y} = 25; \end{cases} $

2) $ \begin{cases} 3^{2x} + 3^y = 12, \\ 3^{x+y} = 27. \end{cases} $

1) Исходная система уравнений:

$ \begin{cases} 3^{2x} - 2^y = 725, \\ 3^x - 2^{0.5y} = 25. \end{cases} $

Для решения системы введем новые переменные. Пусть $a = 3^x$ и $b = 2^{0.5y}$. Так как основание степени положительно, то $a > 0$ и $b > 0$.

Теперь выразим левые части уравнений системы через $\text{a}$ и $\text{b}$. Заметим, что $3^{2x} = (3^x)^2 = a^2$ и $2^y = 2^{2 \cdot 0.5y} = (2^{0.5y})^2 = b^2$.

После подстановки система примет вид:

$ \begin{cases} a^2 - b^2 = 725, \\ a - b = 25. \end{cases} $

Воспользуемся формулой разности квадратов для первого уравнения: $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.

Подставим в преобразованное первое уравнение значение $a-b$ из второго уравнения:

$25 \cdot (a+b) = 725$

Отсюда найдем значение суммы $a+b$:

$a+b = \frac{725}{25} = 29$

Теперь мы имеем простую систему линейных уравнений:

$ \begin{cases} a - b = 25, \\ a + b = 29. \end{cases} $

Сложим два уравнения этой системы:

$(a-b) + (a+b) = 25 + 29$

$2a = 54$

$a = 27$

Теперь подставим найденное значение $\text{a}$ в любое из уравнений, например, во второе:

$27 + b = 29$

$b = 2$

Мы получили $a=27$ и $b=2$. Оба значения положительны, что соответствует условиям замены.

Выполним обратную замену, чтобы найти $\text{x}$ и $\text{y}$.

Для $a=27$ имеем:

$3^x = 27$

$3^x = 3^3$

$x = 3$

Для $b=2$ имеем:

$2^{0.5y} = 2$

$2^{0.5y} = 2^1$

$0.5y = 1$

$y = 2$

Таким образом, решение системы - это пара чисел $(3; 2)$.

Ответ: $(3; 2)$.

2) Исходная система уравнений:

$ \begin{cases} 3^{2x} + 3^y = 12, \\ 3^{x+y} = 27. \end{cases} $

Сделаем замену переменных. Пусть $a = 3^x$ и $b = 3^y$. Так как показательная функция всегда положительна, то $a > 0$ и $b > 0$.

Выразим члены исходной системы через новые переменные, используя свойства степеней:

$3^{2x} = (3^x)^2 = a^2$

$3^{x+y} = 3^x \cdot 3^y = ab$

Подставим новые переменные в систему уравнений:

$ \begin{cases} a^2 + b = 12, \\ ab = 27. \end{cases} $

Из второго уравнения выразим $\text{b}$ через $\text{a}$: $b = \frac{27}{a}$ (это возможно, так как $a=3^x \neq 0$).

Подставим это выражение в первое уравнение системы:

$a^2 + \frac{27}{a} = 12$

Умножим обе части уравнения на $\text{a}$, чтобы избавиться от знаменателя:

$a^3 + 27 = 12a$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить кубическое уравнение:

$a^3 - 12a + 27 = 0$

Нам нужно найти положительные действительные корни этого уравнения, так как по определению $a = 3^x > 0$.

Рассмотрим функцию $f(a) = a^3 - 12a + 27$ и исследуем ее на наличие положительных корней.

Для этого найдем ее производную:

$f'(a) = (a^3 - 12a + 27)' = 3a^2 - 12 = 3(a^2 - 4) = 3(a-2)(a+2)$

Производная обращается в ноль в точках $a=2$ и $a=-2$. Нас интересует поведение функции при $a>0$.

На интервале $(0, 2)$ производная $f'(a)$ отрицательна, следовательно, функция $f(a)$ убывает.

На интервале $(2, \infty)$ производная $f'(a)$ положительна, следовательно, функция $f(a)$ возрастает.

Таким образом, в точке $a=2$ функция достигает своего локального минимума.

Найдем значение функции в этой точке:

$f(2) = 2^3 - 12(2) + 27 = 8 - 24 + 27 = 11$

Поскольку минимальное значение функции $f(a)$ на всем промежутке $a>0$ равно 11, что является положительным числом, функция $f(a)$ никогда не пересекает ось абсцисс при $a>0$.

Это означает, что уравнение $a^3 - 12a + 27 = 0$ не имеет положительных действительных корней.

Так как $a=3^x$ должно быть положительным, то не существует такого действительного $\text{x}$, которое удовлетворяло бы системе.

Следовательно, исходная система уравнений не имеет решений в действительных числах.

Ответ: решений нет.