Номер 7.8, страница 50, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

7.8. Стоимость дома с течением времени растет, увеличиваясь ежегодно на 7,5%. Определите, через какое время стоимость дома достигнет 25000000 тг, если на данный момент она составляет 16000000 тг.

Эта задача решается с помощью формулы сложных процентов, так как стоимость дома увеличивается на определенный процент от текущей стоимости каждый год.

Формула для нахождения будущей стоимости при сложных процентах выглядит так: $S_n = S_0 \cdot (1 + \frac{p}{100})^n$ где:

• $S_n$ — конечная стоимость,
• $S_0$ — начальная стоимость,
• $\text{p}$ — годовая процентная ставка,
• $\text{n}$ — количество лет.

В нашем случае известны следующие значения:

• $S_0 = 16 \, 000 \, 000$ тг
• $S_n = 25 \, 000 \, 000$ тг
• $p = 7,5$ %

Необходимо найти $\text{n}$. Подставим известные значения в формулу: $25 \, 000 \, 000 = 16 \, 000 \, 000 \cdot (1 + \frac{7,5}{100})^n$

Упростим уравнение, разделив обе части на $1 \, 000 \, 000$: $25 = 16 \cdot (1 + 0,075)^n$ $25 = 16 \cdot (1,075)^n$

Теперь выразим $(1,075)^n$: $(1,075)^n = \frac{25}{16}$ $(1,075)^n = 1,5625$

Чтобы найти показатель степени $\text{n}$, прологарифмируем обе части уравнения. Можно использовать натуральный логарифм (ln): $\ln((1,075)^n) = \ln(1,5625)$

Используя свойство логарифма $\ln(a^b) = b \cdot \ln(a)$, получаем: $n \cdot \ln(1,075) = \ln(1,5625)$

Отсюда находим $\text{n}$: $n = \frac{\ln(1,5625)}{\ln(1,075)}$

Используя калькулятор, находим значения логарифмов: $\ln(1,5625) \approx 0,446287$ $\ln(1,075) \approx 0,072321$

$n \approx \frac{0,446287}{0,072321} \approx 6,17$ лет.

Поскольку стоимость увеличивается ежегодно, то есть дискретно в конце каждого года, мы должны найти целое количество лет, по истечении которого стоимость дома превысит или станет равной $25 \, 000 \, 000$ тг. Результат $n \approx 6,17$ означает, что через 6 лет стоимость еще не достигнет нужной отметки, а достигнет ее в течение седьмого года.

Проверим стоимость через 6 и 7 лет:

• Через 6 лет: $S_6 = 16 \, 000 \, 000 \cdot (1,075)^6 \approx 16 \, 000 \, 000 \cdot 1,5433 \approx 24 \, 692 \, 827$ тг. Эта сумма меньше $25 \, 000 \, 000$ тг.
• Через 7 лет: $S_7 = 16 \, 000 \, 000 \cdot (1,075)^7 \approx 16 \, 000 \, 000 \cdot 1,6590 \approx 26 \, 544 \, 289$ тг. Эта сумма больше $25 \, 000 \, 000$ тг.

Таким образом, стоимость дома достигнет $25 \, 000 \, 000$ тг через 7 лет.

Ответ: 7 лет.