Номер 7.1, страница 49, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

7.1. Решите простейшие показательные уравнения:

1) $5^x = 625$;

2) $2^x = 1024$;

3) $3^x = 729$;

4) $7^x = \frac{1}{343}$;

5) $2^{x+3} = 64$;

6) $3^{\frac{x}{2}} = 27$;

7) $\sqrt{2^x} \cdot \sqrt{3^x} = 216$;

8) $\sqrt[4]{7^x} = \sqrt[5]{343}$;

9) $6^{3-x} = 216$;

10) $8^x = 4^{0.5}$;

11) $3^x = 7$;

12) $(0.2)^{x+1} = 5$.

1)

Дано показательное уравнение $5^x = 625$.

Для его решения необходимо представить правую и левую части в виде степени с одинаковым основанием. Основание в левой части равно 5.

Представим число 625 как степень числа 5: $625 = 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 = 5^4$.

Теперь уравнение имеет вид: $5^x = 5^4$.

Поскольку основания степеней равны, мы можем приравнять их показатели:

$x = 4$.

Ответ: 4

2)

Дано уравнение $2^x = 1024$.

Представим число 1024 в виде степени с основанием 2. Мы знаем, что $2^{10} = 1024$.

Уравнение принимает вид: $2^x = 2^{10}$.

Приравниваем показатели степеней:

$x = 10$.

Ответ: 10

3)

Дано уравнение $3^x = 729$.

Представим число 729 в виде степени с основанием 3: $729 = 3^6$.

Уравнение принимает вид: $3^x = 3^6$.

Приравниваем показатели степеней:

$x = 6$.

Ответ: 6

4)

Дано уравнение $7^x = \frac{1}{343}$.

Представим правую часть уравнения в виде степени с основанием 7.

Сначала найдем степень 7, дающую 343: $7^3 = 343$.

Тогда $\frac{1}{343} = \frac{1}{7^3} = 7^{-3}$ по свойству степеней с отрицательным показателем.

Уравнение принимает вид: $7^x = 7^{-3}$.

Приравниваем показатели степеней:

$x = -3$.

Ответ: -3

5)

Дано уравнение $2^{x+3} = 64$.

Представим число 64 в виде степени с основанием 2: $64 = 2^6$.

Уравнение принимает вид: $2^{x+3} = 2^6$.

Приравниваем показатели степеней:

$x+3 = 6$.

$x = 6 - 3$.

$x = 3$.

Ответ: 3

6)

Дано уравнение $3^{\frac{x}{2}} = 27$.

Представим число 27 в виде степени с основанием 3: $27 = 3^3$.

Уравнение принимает вид: $3^{\frac{x}{2}} = 3^3$.

Приравниваем показатели степеней:

$\frac{x}{2} = 3$.

$x = 3 \cdot 2$.

$x = 6$.

Ответ: 6

7)

Рассмотрим уравнение $ \sqrt{2^x} \cdot \sqrt[3]{3^x} = 216 $.

Используя свойства степеней, преобразуем левую часть: $ \sqrt{2^x} = (2^x)^{\frac{1}{2}} = 2^{\frac{x}{2}} $ и $ \sqrt[3]{3^x} = (3^x)^{\frac{1}{3}} = 3^{\frac{x}{3}} $.

Представим правую часть в виде произведения степеней простых чисел: $216 = 6^3 = (2 \cdot 3)^3 = 2^3 \cdot 3^3$.

Уравнение принимает вид: $2^{\frac{x}{2}} \cdot 3^{\frac{x}{3}} = 2^3 \cdot 3^3$.

В силу единственности разложения на простые множители, показатели степеней при одинаковых основаниях должны быть равны. Это приводит к системе уравнений:

$ \begin{cases} \frac{x}{2} = 3 \\ \frac{x}{3} = 3 \end{cases} $

Из первого уравнения получаем $x = 6$, а из второго $x = 9$. Поскольку $6 \neq 9$, система не имеет решений. Следовательно, исходное уравнение в заданном виде не имеет решений из-за противоречивых условий. Вероятно, в условии задачи допущена опечатка.

Предположим, что оба корня были кубическими: $ \sqrt[3]{2^x} \cdot \sqrt[3]{3^x} = 216 $.

$ \sqrt[3]{2^x \cdot 3^x} = 216 \implies \sqrt[3]{6^x} = 6^3 \implies 6^{\frac{x}{3}} = 6^3 $.

Отсюда $\frac{x}{3} = 3$, и $x = 9$.

Ответ: В исходном виде уравнение не имеет решений. При исправлении на $ \sqrt[3]{2^x} \cdot \sqrt[3]{3^x} = 216 $ ответом будет $x=9$.

8)

Дано уравнение $\sqrt[4]{7^x} = \sqrt[5]{343}$.

Перепишем уравнение, используя степени с дробными показателями: $(7^x)^{\frac{1}{4}} = (343)^{\frac{1}{5}}$.

Упростим, зная, что $343 = 7^3$:

$7^{\frac{x}{4}} = (7^3)^{\frac{1}{5}}$.

$7^{\frac{x}{4}} = 7^{\frac{3}{5}}$.

Приравниваем показатели степеней:

$\frac{x}{4} = \frac{3}{5}$.

$x = \frac{3 \cdot 4}{5} = \frac{12}{5} = 2.4$.

Ответ: $\frac{12}{5}$

9)

Дано уравнение $6^{3-x} = 216$.

Представим число 216 в виде степени с основанием 6: $216 = 6^3$.

Уравнение принимает вид: $6^{3-x} = 6^3$.

Приравниваем показатели степеней:

$3-x = 3$.

$-x = 3 - 3$.

$-x = 0 \implies x = 0$.

Ответ: 0

10)

Дано уравнение $8^x = 4^{0.5}$.

Приведем обе части уравнения к общему основанию 2.

$8^x = (2^3)^x = 2^{3x}$.

$4^{0.5} = (2^2)^{0.5} = 2^{2 \cdot 0.5} = 2^1 = 2$.

Уравнение принимает вид: $2^{3x} = 2^1$.

Приравниваем показатели степеней:

$3x = 1$.

$x = \frac{1}{3}$.

Ответ: $\frac{1}{3}$

11)

Дано уравнение $3^x = 7$.

В этом случае 7 нельзя представить в виде степени числа 3 с рациональным показателем. Решение такого уравнения выражается через логарифм.

По определению логарифма, $\text{x}$ — это показатель степени, в которую нужно возвести основание 3, чтобы получить число 7.

Записывается это так: $x = \log_3 7$.

Ответ: $\log_3 7$

12)

Дано уравнение $(0.2)^{x+1} = 5$.

Представим основание 0.2 в виде степени с основанием 5.

$0.2 = \frac{2}{10} = \frac{1}{5} = 5^{-1}$.

Подставим это в уравнение: $(5^{-1})^{x+1} = 5^1$.

Используя свойство $(a^m)^n = a^{mn}$, получаем: $5^{-(x+1)} = 5^1$.

$5^{-x-1} = 5^1$.

Приравниваем показатели степеней:

$-x-1 = 1$.

$-x = 1+1$.

$-x = 2$.

$x = -2$.

Ответ: -2