Номер 7.5, страница 50, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

7.5. Бактерии помещены в благоприятную среду. Их общая масса (в граммах) увеличивается с течением времени (в часах) по следующему закону: $M_t = 25 \cdot e^{0.1t}$. Определите время, необходимое для того, чтобы масса бактерий составила:

1) 50 г;

2) 100 г.

1) По условию задачи, масса бактерий $M_t$ (в граммах) увеличивается с течением времени $\text{t}$ (в часах) по закону $M_t = 25 \cdot e^{0.1t}$. Необходимо определить время, когда масса достигнет 50 г. Для этого подставим значение $M_t = 50$ в данную формулу: $50 = 25 \cdot e^{0.1t}$.

Чтобы найти $\text{t}$, сначала разделим обе части уравнения на 25:

$\frac{50}{25} = e^{0.1t}$

$2 = e^{0.1t}$

Теперь, чтобы избавиться от экспоненты, возьмем натуральный логарифм (ln) от обеих частей уравнения. Используем свойство $\ln(e^x) = x$:

$\ln(2) = \ln(e^{0.1t})$

$\ln(2) = 0.1t$

Наконец, выразим время $\text{t}$:

$t = \frac{\ln(2)}{0.1} = 10 \ln(2)$.

Так как $\ln(2) \approx 0.693$, то $t \approx 10 \cdot 0.693 = 6.93$ часа.

Ответ: $10 \ln(2)$ часов (приблизительно 6.93 ч).

2) Аналогично найдем время $\text{t}$, когда масса бактерий составит 100 г. Подставим $M_t = 100$ в ту же формулу:

$100 = 25 \cdot e^{0.1t}$.

Разделим обе части уравнения на 25:

$\frac{100}{25} = e^{0.1t}$

$4 = e^{0.1t}$

Прологарифмируем обе части по основанию $\text{e}$:

$\ln(4) = \ln(e^{0.1t})$

$\ln(4) = 0.1t$

Выразим $\text{t}$:

$t = \frac{\ln(4)}{0.1} = 10 \ln(4)$.

Используя свойство логарифмов $\ln(a^b) = b \ln(a)$, можно переписать

Ответ: $t = 10 \ln(2^2) = 10 \cdot 2 \ln(2) = 20 \ln(2)$.

Так как $\ln(4) \approx 1.386$, то $t \approx 10 \cdot 1.386 = 13.86$ часа.

Ответ: $10 \ln(4)$ часов, или $20 \ln(2)$ часов (приблизительно 13.86 ч).