Номер 7.11, страница 51, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

7.11. Решите показательное уравнение методом разложения на

множители:

1) $5^{x+2} - 5^x = 120$;

2) $3^{x+2} - 3^x = 72$;

3) $2^x - 2^{x-4} = 15$;

4) $3^{x-3} + 3^{x-2} + 3^{x-1} = 3159$;

5) $2 \cdot 3^{x+8} - 5 \cdot 3^{x+2} = 1443$;

6) $3^{x^2+1} + 3^{x^2-1} = 270$.

1) $5^{x+2} - 5^x = 120$

Используя свойство степени $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$, преобразуем левую часть уравнения:

$5^x \cdot 5^2 - 5^x = 120$

Вынесем общий множитель $5^x$ за скобки:

$5^x(5^2 - 1) = 120$

Выполним вычисления в скобках:

$5^x(25 - 1) = 120$

$5^x \cdot 24 = 120$

Разделим обе части уравнения на 24:

$5^x = \frac{120}{24}$

$5^x = 5$

Так как $5 = 5^1$, то $x = 1$.

Ответ: $\text{1}$.

2) $3^{x+2} - 3^x = 72$

Используя свойство степени $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$, преобразуем левую часть уравнения:

$3^x \cdot 3^2 - 3^x = 72$

Вынесем общий множитель $3^x$ за скобки:

$3^x(3^2 - 1) = 72$

Выполним вычисления в скобках:

$3^x(9 - 1) = 72$

$3^x \cdot 8 = 72$

Разделим обе части уравнения на 8:

$3^x = \frac{72}{8}$

$3^x = 9$

Представим 9 как степень числа 3: $9 = 3^2$.

$3^x = 3^2$

Следовательно, $x = 2$.

Ответ: $\text{2}$.

3) $2^x - 2^{x-4} = 15$

Используя свойство степени $a^{m-n} = a^m \cdot a^{-n}$, преобразуем левую часть уравнения:

$2^x - 2^x \cdot 2^{-4} = 15$

Вынесем общий множитель $2^x$ за скобки:

$2^x(1 - 2^{-4}) = 15$

Выполним вычисления в скобках, зная, что $2^{-4} = \frac{1}{2^4} = \frac{1}{16}$:

$2^x(1 - \frac{1}{16}) = 15$

$2^x \cdot \frac{15}{16} = 15$

Умножим обе части уравнения на $\frac{16}{15}$:

$2^x = 15 \cdot \frac{16}{15}$

$2^x = 16$

Представим 16 как степень числа 2: $16 = 2^4$.

$2^x = 2^4$

Следовательно, $x = 4$.

Ответ: $\text{4}$.

4) $3^{x-3} + 3^{x-2} + 3^{x-1} = 3159$

Вынесем за скобки степень с наименьшим показателем, то есть $3^{x-3}$:

$3^{x-3}(1 + 3^1 + 3^2) = 3159$

Выполним вычисления в скобках:

$3^{x-3}(1 + 3 + 9) = 3159$

$3^{x-3} \cdot 13 = 3159$

Разделим обе части уравнения на 13:

$3^{x-3} = \frac{3159}{13}$

$3^{x-3} = 243$

Представим 243 как степень числа 3: $243 = 3^5$.

$3^{x-3} = 3^5$

Приравняем показатели степеней:

$x - 3 = 5$

$x = 8$

Ответ: $\text{8}$.

5) $2 \cdot 3^{x+3} - 5 \cdot 3^{x-2} = 1443$

Используя свойства степеней, преобразуем уравнение:

$2 \cdot (3^x \cdot 3^3) - 5 \cdot (3^x \cdot 3^{-2}) = 1443$

Вынесем общий множитель $3^x$ за скобки:

$3^x(2 \cdot 3^3 - 5 \cdot 3^{-2}) = 1443$

Выполним вычисления в скобках:

$3^x(2 \cdot 27 - 5 \cdot \frac{1}{9}) = 1443$

$3^x(54 - \frac{5}{9}) = 1443$

$3^x(\frac{486 - 5}{9}) = 1443$

$3^x \cdot \frac{481}{9} = 1443$

Найдем $3^x$:

$3^x = 1443 \cdot \frac{9}{481}$

Поскольку $1443 : 481 = 3$, получаем:

$3^x = 3 \cdot 9$

$3^x = 27$

Представим 27 как степень числа 3: $27 = 3^3$.

$3^x = 3^3$

Следовательно, $x = 3$.

Ответ: $\text{3}$.

6) $3^{x^2+1} + 3^{x^2-1} = 270$

Используя свойства степеней, преобразуем уравнение:

$3^{x^2} \cdot 3^1 + 3^{x^2} \cdot 3^{-1} = 270$

Вынесем общий множитель $3^{x^2}$ за скобки:

$3^{x^2}(3 + 3^{-1}) = 270$

Выполним вычисления в скобках:

$3^{x^2}(3 + \frac{1}{3}) = 270$

$3^{x^2}(\frac{10}{3}) = 270$

Найдем $3^{x^2}$:

$3^{x^2} = 270 \cdot \frac{3}{10}$

$3^{x^2} = 27 \cdot 3$

$3^{x^2} = 81$

Представим 81 как степень числа 3: $81 = 3^4$.

$3^{x^2} = 3^4$

Приравняем показатели степеней:

$x^2 = 4$

Отсюда $x = \pm \sqrt{4}$, то есть $x = 2$ или $x = -2$.

Ответ: $\pm2$.