Номер 7.10, страница 51, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

7.10. Дамир положил 15000 тг на депозитный счет при ежемесячной сложной процентной ставке 4,8%. Через сколько месяцев сумма вклада достигнет 25000 тг?

Для решения данной задачи воспользуемся формулой сложных процентов, которая позволяет рассчитать итоговую сумму вклада с учетом периодического начисления процентов:

$S = P \cdot (1 + r)^n$

где:

• $\text{S}$ — итоговая сумма, которую мы хотим получить (25000 тг);
• $\text{P}$ — первоначальная сумма вклада (15000 тг);
• $\text{r}$ — процентная ставка за один период (за месяц), выраженная в долях. В данном случае $4,8\% = 0,048$;
• $\text{n}$ — количество периодов (месяцев), которое необходимо найти.

Подставим известные значения в формулу:

$25000 = 15000 \cdot (1 + 0,048)^n$

Для того чтобы найти $\text{n}$, сначала упростим уравнение. Разделим обе части на 15000:

$\frac{25000}{15000} = (1,048)^n$

$\frac{25}{15} = (1,048)^n$

$\frac{5}{3} = (1,048)^n$

Теперь, чтобы найти показатель степени $\text{n}$, применим логарифмы к обеим частям уравнения. Удобнее всего использовать натуральный логарифм (ln):

$\ln\left(\frac{5}{3}\right) = \ln\left((1,048)^n\right)$

Согласно свойству логарифма $\ln(a^b) = b \cdot \ln(a)$, мы можем вынести $\text{n}$ из-под знака логарифма:

$\ln\left(\frac{5}{3}\right) = n \cdot \ln(1,048)$

Выразим $\text{n}$:

$n = \frac{\ln(5/3)}{\ln(1,048)}$

Теперь вычислим приближенные значения:

$n \approx \frac{0,5108256}{0,0469203} \approx 10,887$

Полученное значение $n \approx 10,887$ означает, что для достижения суммы в 25000 тг потребуется почти 11 месяцев. Поскольку проценты начисляются в конце каждого месяца, то через 10 полных месяцев сумма на счете будет еще меньше 25000 тг, а по истечении 11-го месяца она превысит эту отметку.

Проверим это расчетом:

Сумма через 10 месяцев: $15000 \cdot (1,048)^{10} \approx 15000 \cdot 1,5986 \approx 23979$ тг (меньше 25000 тг).

Сумма через 11 месяцев: $15000 \cdot (1,048)^{11} \approx 15000 \cdot 1,6753 \approx 25130$ тг (больше 25000 тг).

Следовательно, сумма вклада достигнет 25000 тг через 11 месяцев.

Ответ: через 11 месяцев.