Номер 7.12, страница 51, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

7.12. Решите показательное уравнение:

1) $4^x - 3^{x-0.5} = 3^{x+0.5} - 2^{2x-1};$

2) $2^{x^2-1} - 3^{x^2} = 3^{x^2-1} - 2^{x^2+2};$

3) $2^{12x-1} - 4^{6x-1} + 8^{4x-1} - 16^{3x-1} = 1280;$

4) $10^x - 5^{x-1} \cdot 2^{x-2} = 950;$

1) $4^x - 3^{x-0.5} = 3^{x+0.5} - 2^{2x-1}$

Сгруппируем члены с одинаковыми основаниями. Для этого преобразуем $4^x$ и $2^{2x-1}$ к основанию 2: $4^x = (2^2)^x = 2^{2x}$ и $2^{2x-1} = 2^{2x} \cdot 2^{-1} = \frac{1}{2} \cdot 2^{2x}$.

Перепишем уравнение:

$2^{2x} - 3^{x-0.5} = 3^{x+0.5} - \frac{1}{2} \cdot 2^{2x}$

Перенесем члены с основанием 2 в левую часть, а с основанием 3 - в правую:

$2^{2x} + \frac{1}{2} \cdot 2^{2x} = 3^{x+0.5} + 3^{x-0.5}$

Вынесем общие множители за скобки:

$2^{2x}(1 + \frac{1}{2}) = 3^x \cdot 3^{0.5} + 3^x \cdot 3^{-0.5}$

$2^{2x}(\frac{3}{2}) = 3^x(3^{0.5} + 3^{-0.5})$

$2^{2x}(\frac{3}{2}) = 3^x(\sqrt{3} + \frac{1}{\sqrt{3}})$

Упростим выражение в скобках справа:

$\sqrt{3} + \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{(\sqrt{3})^2 + 1}{\sqrt{3}} = \frac{3+1}{\sqrt{3}} = \frac{4}{\sqrt{3}}$

Подставим обратно в уравнение:

$2^{2x} \cdot \frac{3}{2} = 3^x \cdot \frac{4}{\sqrt{3}}$

Разделим переменные. Перенесем $3^x$ влево, а константы вправо:

$\frac{2^{2x}}{3^x} = \frac{4}{\sqrt{3}} \cdot \frac{2}{3}$

$\frac{(2^2)^x}{3^x} = \frac{8}{3\sqrt{3}}$

$(\frac{4}{3})^x = \frac{8}{3^{1.5}}$

Представим правую часть как степень числа $\frac{4}{3}$:

$\frac{8}{3^{1.5}} = \frac{2^3}{(3^{0.5})^3} = (\frac{2}{\sqrt{3}})^3 = (\frac{4^{0.5}}{3^{0.5}})^{3} = ((\frac{4}{3})^{0.5})^3 = (\frac{4}{3})^{1.5}$

Получаем уравнение:

$(\frac{4}{3})^x = (\frac{4}{3})^{1.5}$

Отсюда следует:

$x = 1.5$

Ответ: 1,5.

2) $2^{x^2-1} - 3^{x^2} = 3^{x^2-1} - 2^{x^2+2}$

Сгруппируем члены с одинаковыми основаниями:

$2^{x^2-1} + 2^{x^2+2} = 3^{x^2-1} + 3^{x^2}$

Вынесем за скобки общие множители с наименьшей степенью для каждой из частей:

$2^{x^2-1}(1 + 2^{(x^2+2) - (x^2-1)}) = 3^{x^2-1}(1 + 3^{x^2 - (x^2-1)})$

$2^{x^2-1}(1 + 2^3) = 3^{x^2-1}(1 + 3^1)$

$2^{x^2-1}(1 + 8) = 3^{x^2-1}(1 + 3)$

$9 \cdot 2^{x^2-1} = 4 \cdot 3^{x^2-1}$

Разделим обе части на $3^{x^2-1}$ и на 9:

$\frac{2^{x^2-1}}{3^{x^2-1}} = \frac{4}{9}$

$(\frac{2}{3})^{x^2-1} = (\frac{2}{3})^2$

Приравниваем показатели степеней:

$x^2-1 = 2$

$x^2 = 3$

$x = \pm\sqrt{3}$

Ответ: $\pm\sqrt{3}$.

3) $2^{12x-1} - 4^{6x-1} + 8^{4x-1} - 16^{3x-1} = 1280$

Приведем все степени к основанию 2:

$4^{6x-1} = (2^2)^{6x-1} = 2^{12x-2}$

$8^{4x-1} = (2^3)^{4x-1} = 2^{12x-3}$

$16^{3x-1} = (2^4)^{3x-1} = 2^{12x-4}$

Подставим в исходное уравнение:

$2^{12x-1} - 2^{12x-2} + 2^{12x-3} - 2^{12x-4} = 1280$

Вынесем за скобки член с наименьшей степенью $2^{12x-4}$:

$2^{12x-4}(2^3 - 2^2 + 2^1 - 1) = 1280$

Упростим выражение в скобках:

$8 - 4 + 2 - 1 = 5$

Получаем уравнение:

$2^{12x-4} \cdot 5 = 1280$

Разделим обе части на 5:

$2^{12x-4} = \frac{1280}{5} = 256$

Представим 256 как степень 2: $256 = 2^8$.

$2^{12x-4} = 2^8$

Приравниваем показатели степеней:

$12x - 4 = 8$

$12x = 12$

$x = 1$

Ответ: 1.

4) $10^x - 5^{x-1} \cdot 2^{x-2} = 950$

Используем свойство степеней $a^{m-n} = a^m \cdot a^{-n}$ и представим $10^x$ как $(5 \cdot 2)^x = 5^x \cdot 2^x$:

$5^x \cdot 2^x - (5^x \cdot 5^{-1}) \cdot (2^x \cdot 2^{-2}) = 950$

$5^x \cdot 2^x - 5^x \cdot \frac{1}{5} \cdot 2^x \cdot \frac{1}{4} = 950$

$5^x \cdot 2^x - (5^x \cdot 2^x) \cdot \frac{1}{20} = 950$

Вынесем общий множитель $(5^x \cdot 2^x)$ за скобки:

$(5^x \cdot 2^x) (1 - \frac{1}{20}) = 950$

$10^x \cdot \frac{19}{20} = 950$

Найдем $10^x$:

$10^x = 950 \cdot \frac{20}{19}$

$10^x = 50 \cdot 20$

$10^x = 1000$

Представим 1000 как степень 10: $1000 = 10^3$.

$10^x = 10^3$

Следовательно:

$x = 3$

Ответ: 3.