Номер 7.16, страница 52, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

7.16. Радиоактивное вещество с течением времени $\text{t}$ (в неделях) распадается, и его масса $M_t$ (в граммах) уменьшается по закону $M_t = 1000 \cdot e^{-0.04t}$. Определите время, в течение которого распадется половина первоначальной массы вещества. Через какое время масса вещества составит 25 г?

Определите время, в течение которого распадется половина первоначальной массы вещества.

Закон уменьшения массы радиоактивного вещества со временем задается формулой $M_t = 1000 \cdot e^{-0.04t}$, где $\text{t}$ — время в неделях, а $M_t$ — масса вещества в граммах в момент времени $\text{t}$.

Первоначальная масса вещества — это масса в начальный момент времени, то есть при $t=0$. Подставим это значение в формулу: $M_0 = 1000 \cdot e^{-0.04 \cdot 0} = 1000 \cdot e^0 = 1000 \cdot 1 = 1000$ г.

Половина первоначальной массы составляет $1000 / 2 = 500$ г. Нам необходимо найти время $\text{t}$, когда масса вещества станет равной 500 г. Для этого решим уравнение: $500 = 1000 \cdot e^{-0.04t}$

Разделим обе части уравнения на 1000: $0.5 = e^{-0.04t}$

Чтобы найти $\text{t}$, возьмем натуральный логарифм (логарифм по основанию $\text{e}$) от обеих частей уравнения: $\ln(0.5) = \ln(e^{-0.04t})$

Используя свойство логарифма $\ln(e^x) = x$, получаем: $\ln(0.5) = -0.04t$

Выразим $\text{t}$ из этого уравнения. Учитывая, что $\ln(0.5) = \ln(1/2) = -\ln(2)$, имеем: $t = \frac{\ln(0.5)}{-0.04} = \frac{-\ln(2)}{-0.04} = \frac{\ln(2)}{0.04}$

Для получения численного значения воспользуемся приближенным значением $\ln(2) \approx 0.6931$: $t \approx \frac{0.6931}{0.04} \approx 17.3275$ недель.

Ответ: $\frac{\ln(2)}{0.04}$ недель (приблизительно 17.33 недели).

Через какое время масса вещества составит 25 г?

Чтобы найти время, через которое масса вещества составит 25 г, нужно решить уравнение $M_t = 25$: $25 = 1000 \cdot e^{-0.04t}$

Разделим обе части уравнения на 1000: $\frac{25}{1000} = e^{-0.04t}$ $0.025 = e^{-0.04t}$

Прологарифмируем обе части по основанию $\text{e}$: $\ln(0.025) = \ln(e^{-0.04t})$

Используя то же свойство логарифма, что и в предыдущем пункте, получим: $\ln(0.025) = -0.04t$

Выразим время $\text{t}$. Учитывая, что $0.025 = \frac{25}{1000} = \frac{1}{40}$, и $\ln(1/40) = -\ln(40)$, имеем: $t = \frac{\ln(0.025)}{-0.04} = \frac{-\ln(40)}{-0.04} = \frac{\ln(40)}{0.04}$

Найдем численное значение, используя $\ln(40) \approx 3.6889$: $t \approx \frac{3.6889}{0.04} \approx 92.2225$ недель.

Ответ: $\frac{\ln(40)}{0.04}$ недель (приблизительно 92.22 недели).