Номер 7.20, страница 52, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

7.20. Решите уравнение:

1) $2^{2x^2-5x-1} = 0,5 \sqrt[3]{4^{2x}};$

2) $4^{x+\sqrt{x^2-2}} - 5 \cdot 2^{x-1+\sqrt{x^2-2}} = 6;$

3) $25^{x-1} - 9^{2x-2} + 8 \cdot 5^{2x-3} = 4 \cdot 9^{2x-3};$

4) $81^x - 5^{2x} - 4 \cdot 9^{2x-1} = 4 \cdot 5^{2x-1}.$

1) $2^{2x^2-5x-1} = 0,5 \sqrt[3]{4^{2x}}$

Приведем обе части уравнения к основанию 2. Представим правую часть уравнения в виде степени с основанием 2:

$0,5 = \frac{1}{2} = 2^{-1}$

$\sqrt[3]{4^{2x}} = (4^{2x})^{1/3} = ((2^2)^{2x})^{1/3} = (2^{4x})^{1/3} = 2^{\frac{4x}{3}}$

Таким образом, правая часть уравнения равна $2^{-1} \cdot 2^{\frac{4x}{3}} = 2^{\frac{4x}{3}-1}$.

Теперь уравнение имеет вид:

$2^{2x^2-5x-1} = 2^{\frac{4x}{3}-1}$

Так как основания степеней равны, приравниваем их показатели:

$2x^2-5x-1 = \frac{4x}{3}-1$

$2x^2-5x = \frac{4x}{3}$

$2x^2 - 5x - \frac{4x}{3} = 0$

Умножим обе части на 3, чтобы избавиться от дроби:

$6x^2 - 15x - 4x = 0$

$6x^2 - 19x = 0$

Вынесем $\text{x}$ за скобки:

$x(6x-19) = 0$

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю:

$x_1 = 0$ или $6x-19 = 0 \implies 6x = 19 \implies x_2 = \frac{19}{6}$.

Ответ: $0; \frac{19}{6}$.

2) $4^{x+\sqrt{x^2-2}} - 5 \cdot 2^{x-1+\sqrt{x^2-2}} = 6$

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условием $x^2-2 \ge 0$, откуда $x^2 \ge 2$, то есть $x \in (-\infty, -\sqrt{2}] \cup [\sqrt{2}, \infty)$.

Приведем все степени к основанию 2 и преобразуем уравнение:

$(2^2)^{x+\sqrt{x^2-2}} - 5 \cdot 2^{x+\sqrt{x^2-2}} \cdot 2^{-1} = 6$

$(2^{x+\sqrt{x^2-2}})^2 - \frac{5}{2} \cdot 2^{x+\sqrt{x^2-2}} - 6 = 0$

Сделаем замену $y = 2^{x+\sqrt{x^2-2}}$. Так как показательная функция всегда положительна, $y > 0$.

$y^2 - \frac{5}{2}y - 6 = 0$

Умножим на 2, чтобы избавиться от дроби:

$2y^2 - 5y - 12 = 0$

Решим квадратное уравнение относительно $\text{y}$. Дискриминант $D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-12) = 25 + 96 = 121 = 11^2$.

$y_1 = \frac{5 - 11}{4} = -\frac{6}{4} = -1,5$ (не удовлетворяет условию $y>0$)

$y_2 = \frac{5 + 11}{4} = \frac{16}{4} = 4$

Возвращаемся к исходной переменной:

$2^{x+\sqrt{x^2-2}} = 4$

$2^{x+\sqrt{x^2-2}} = 2^2$

$x+\sqrt{x^2-2} = 2$

$\sqrt{x^2-2} = 2-x$

Для существования корня необходимо, чтобы правая часть была неотрицательной: $2-x \ge 0 \implies x \le 2$.

С учетом ОДЗ получаем $x \in (-\infty, -\sqrt{2}] \cup [\sqrt{2}, 2]$.

Возведем обе части в квадрат:

$x^2-2 = (2-x)^2$

$x^2-2 = 4 - 4x + x^2$

$-2 = 4 - 4x$

$4x = 6$

$x = \frac{6}{4} = 1,5$.

Проверим, принадлежит ли корень найденному интервалу. $\sqrt{2} \approx 1,41$, поэтому $\sqrt{2} < 1,5 \le 2$. Корень подходит.

Ответ: $1,5$.

3) $25^{x-1} - 9^{2x-2} + 8 \cdot 5^{2x-3} = 4 \cdot 9^{2x-3}$

Сгруппируем слагаемые с одинаковыми основаниями в разных частях уравнения:

$25^{x-1} + 8 \cdot 5^{2x-3} = 9^{2x-2} + 4 \cdot 9^{2x-3}$

Преобразуем степени к одному показателю для каждого основания.

Левая часть (основание 5):

$25^{x-1} = (5^2)^{x-1} = 5^{2x-2}$

$8 \cdot 5^{2x-3} = 8 \cdot 5^{2x-2} \cdot 5^{-1} = \frac{8}{5} \cdot 5^{2x-2}$

$5^{2x-2} + \frac{8}{5} \cdot 5^{2x-2} = (1 + \frac{8}{5}) \cdot 5^{2x-2} = \frac{13}{5} \cdot 5^{2x-2}$

Правая часть (основание 9):

$9^{2x-2} = 9^{2x-3} \cdot 9^1 = 9 \cdot 9^{2x-3}$

$9 \cdot 9^{2x-3} + 4 \cdot 9^{2x-3} = (9+4) \cdot 9^{2x-3} = 13 \cdot 9^{2x-3}$

Приравниваем преобразованные части:

$\frac{13}{5} \cdot 5^{2x-2} = 13 \cdot 9^{2x-3}$

Разделим обе части на 13 (при $13 \ne 0$):

$\frac{1}{5} \cdot 5^{2x-2} = 9^{2x-3}$

$5^{-1} \cdot 5^{2x-2} = 9^{2x-3}$

$5^{2x-3} = 9^{2x-3}$

Поскольку $9^{2x-3} \ne 0$, разделим обе части на $9^{2x-3}$:

$\frac{5^{2x-3}}{9^{2x-3}} = 1$

$(\frac{5}{9})^{2x-3} = 1$

Так как любое число (кроме нуля) в степени 0 равно 1, то:

$2x-3 = 0$

$2x=3$

$x = \frac{3}{2} = 1,5$.

Ответ: $1,5$.

4) $81^x - 5^{2x} - 4 \cdot 9^{2x-1} = 4 \cdot 5^{2x-1}$

Сгруппируем слагаемые с одинаковыми основаниями:

$81^x - 4 \cdot 9^{2x-1} = 5^{2x} + 4 \cdot 5^{2x-1}$

Преобразуем степени в каждой части уравнения.

Левая часть (основание 9):

$81^x = (9^2)^x = 9^{2x}$

$4 \cdot 9^{2x-1} = 4 \cdot 9^{2x} \cdot 9^{-1} = \frac{4}{9} \cdot 9^{2x}$

$9^{2x} - \frac{4}{9} \cdot 9^{2x} = (1 - \frac{4}{9}) \cdot 9^{2x} = \frac{5}{9} \cdot 9^{2x}$

Правая часть (основание 5):

$4 \cdot 5^{2x-1} = 4 \cdot 5^{2x} \cdot 5^{-1} = \frac{4}{5} \cdot 5^{2x}$

$5^{2x} + \frac{4}{5} \cdot 5^{2x} = (1 + \frac{4}{5}) \cdot 5^{2x} = \frac{9}{5} \cdot 5^{2x}$

Приравниваем преобразованные части:

$\frac{5}{9} \cdot 9^{2x} = \frac{9}{5} \cdot 5^{2x}$

Разделим переменные, собрав степени в левой части, а числа в правой:

$\frac{9^{2x}}{5^{2x}} = \frac{9/5}{5/9}$

$(\frac{9}{5})^{2x} = \frac{9}{5} \cdot \frac{9}{5}$

$(\frac{9}{5})^{2x} = (\frac{9}{5})^2$

Так как основания равны, приравниваем показатели степеней:

$2x = 2$

$x = 1$.

Ответ: $\text{1}$.