Номер 7.25, страница 53, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

7.25. Решите уравнение:

1) $4^x - 3^{x-0.5} = 3^{x+0.5} - 2^{2x-1};$

2) $5^{x-8} - 5^{x-4} = 16 \cdot 5^{x-6} + 4;$

3) $2^{x^2-1} - 3^{x^2} = 3^{x^2-1} - 2^{x^2+2}.$

1) Исходное уравнение: $4^x - 3^{x-0.5} = 3^{x+0.5} - 2^{2x-1}$.

Сгруппируем слагаемые с одинаковыми основаниями. Перенесем все члены с основанием 2 в левую часть, а с основанием 3 — в правую:

$4^x + 2^{2x-1} = 3^{x+0.5} + 3^{x-0.5}$

Используем свойства степеней, чтобы упростить уравнение. Заметим, что $4^x = (2^2)^x = 2^{2x}$:

$2^{2x} + 2^{2x} \cdot 2^{-1} = 3^x \cdot 3^{0.5} + 3^x \cdot 3^{-0.5}$

Вынесем общие множители за скобки в левой и правой частях:

$2^{2x}(1 + 2^{-1}) = 3^x(3^{0.5} + 3^{-0.5})$

Вычислим выражения в скобках:

$1 + 2^{-1} = 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$

$3^{0.5} + 3^{-0.5} = \sqrt{3} + \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{(\sqrt{3})^2 + 1}{\sqrt{3}} = \frac{3+1}{\sqrt{3}} = \frac{4}{\sqrt{3}}$

Подставим полученные значения в уравнение:

$2^{2x} \cdot \frac{3}{2} = 3^x \cdot \frac{4}{\sqrt{3}}$

Перегруппируем слагаемые так, чтобы степени с переменной $\text{x}$ и числовые коэффициенты были разделены:

$\frac{2^{2x}}{3^x} = \frac{4}{\sqrt{3}} \cdot \frac{2}{3}$

$\frac{(2^2)^x}{3^x} = \frac{8}{3\sqrt{3}}$

$(\frac{4}{3})^x = \frac{8}{3^{1.5}}$

Это не самый удобный путь. Вернемся к уравнению $2^{2x} \cdot \frac{3}{2} = 3^x \cdot \frac{4}{\sqrt{3}}$ и перегруппируем его иначе:

$\frac{2^{2x}}{4} = \frac{3^x \cdot 2}{3 \sqrt{3}}$

$2^{2x-2} = \frac{3^x \cdot 2}{3^{1.5}} = 2 \cdot 3^{x-1.5}$

$2^{2x-3} = 3^{x-1.5}$

Заметим, что показатель степени в левой части вдвое больше, чем в правой: $2x-3 = 2(x-1.5)$.

$2^{2(x-1.5)} = 3^{x-1.5}$

$(2^2)^{x-1.5} = 3^{x-1.5}$

$4^{x-1.5} = 3^{x-1.5}$

Разделим обе части на $3^{x-1.5}$ (что всегда больше 0):

$(\frac{4}{3})^{x-1.5} = 1$

Любое число в степени 0 равно 1, поэтому:

$x-1.5 = 0$

$x = 1.5$

Ответ: $1.5$.

2) Исходное уравнение: $5^{x-3} - 5^{x-4} = 16 \cdot 5^{x-5} + 4$.

Перенесем все слагаемые, содержащие переменную $\text{x}$, в левую часть уравнения:

$5^{x-3} - 5^{x-4} - 16 \cdot 5^{x-5} = 4$

Вынесем за скобки общий множитель $5^{x-5}$, так как это степень с наименьшим показателем:

$5^{x-5} \cdot 5^2 - 5^{x-5} \cdot 5^1 - 16 \cdot 5^{x-5} = 4$

$5^{x-5}(5^2 - 5 - 16) = 4$

Вычислим значение выражения в скобках:

$25 - 5 - 16 = 20 - 16 = 4$

Подставим полученное значение обратно в уравнение:

$5^{x-5} \cdot 4 = 4$

Разделим обе части на 4:

$5^{x-5} = 1$

Поскольку любое число (кроме 0) в степени 0 равно 1, мы можем записать 1 как $5^0$:

$5^{x-5} = 5^0$

Приравняем показатели степеней:

$x-5 = 0$

$x = 5$

Ответ: $\text{5}$.

3) Исходное уравнение: $2^{x^2-1} - 3^{x^2} = 3^{x^2-1} - 2^{x^2+2}$.

Сгруппируем слагаемые с одинаковыми основаниями. Перенесем члены с основанием 2 в левую часть, а с основанием 3 — в правую:

$2^{x^2-1} + 2^{x^2+2} = 3^{x^2-1} + 3^{x^2}$

Вынесем за скобки общие множители. В левой части это $2^{x^2-1}$, в правой — $3^{x^2-1}$:

$2^{x^2-1}(1 + 2^3) = 3^{x^2-1}(1 + 3^1)$

Вычислим выражения в скобках:

$1 + 2^3 = 1 + 8 = 9$

$1 + 3^1 = 1 + 3 = 4$

Подставим полученные значения в уравнение:

$2^{x^2-1} \cdot 9 = 3^{x^2-1} \cdot 4$

Разделим обе части уравнения так, чтобы с одной стороны были степени, а с другой — числа:

$\frac{2^{x^2-1}}{3^{x^2-1}} = \frac{4}{9}$

Используем свойство степеней $\frac{a^n}{b^n} = (\frac{a}{b})^n$:

$(\frac{2}{3})^{x^2-1} = \frac{4}{9}$

Представим правую часть в виде степени с основанием $\frac{2}{3}$:

$\frac{4}{9} = (\frac{2}{3})^2$

Теперь уравнение имеет вид:

$(\frac{2}{3})^{x^2-1} = (\frac{2}{3})^2$

Так как основания степеней равны, приравняем их показатели:

$x^2 - 1 = 2$

$x^2 = 3$

Извлекая квадратный корень, получаем два решения:

$x = \pm\sqrt{3}$

Ответ: $\pm\sqrt{3}$.