Номер 7.31, страница 53, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

7.31. С помощью графического метода определите, сколько решений имеет данное уравнение:

1) $2^x + x - 2 = 0;$

2) $3^x = x + 2.$

1) Чтобы определить количество решений уравнения $2^x + x - 2 = 0$ графическим методом, преобразуем его к виду, удобному для построения графиков. Перенесем слагаемые $\text{x}$ и $-2$ в правую часть: $2^x = 2 - x$. Теперь задача сводится к нахождению количества точек пересечения графиков двух функций: $y = 2^x$ и $y = 2 - x$.

• График функции $y = 2^x$ — это показательная функция (экспонента). Она является строго возрастающей на всей числовой оси и проходит через точку $(0, 1)$.
• График функции $y = 2 - x$ — это прямая линия. Эта функция является строго убывающей. Для построения прямой найдем две точки: при $x=0$, $y=2$ (точка $(0, 2)$), и при $y=0$, $x=2$ (точка $(2, 0)$).

Построим эскизы графиков в одной системе координат. Экспонента $y = 2^x$ всегда возрастает, а прямая $y = 2 - x$ всегда убывает. Строго возрастающая и строго убывающая функции могут пересечься не более чем в одной точке. Чтобы убедиться, что пересечение действительно существует, сравним значения функций в двух точках. При $x=0$: $y=2^0=1$ и $y=2-0=2$. Здесь график экспоненты ниже прямой ($1 < 2$). При $x=1$: $y=2^1=2$ и $y=2-1=1$. Здесь график экспоненты выше прямой ($2 > 1$). Поскольку обе функции непрерывны, а их графики "меняются местами" (сначала экспонента была ниже, потом стала выше), они должны пересечься в некоторой точке на интервале $(0, 1)$. Так как пересечение может быть только одно, данное уравнение имеет ровно одно решение.

Ответ: 1.

2) Рассмотрим уравнение $3^x = x + 2$. Оно уже представлено в виде равенства двух функций, графики которых мы можем построить: $y = 3^x$ и $y = x + 2$. Количество решений уравнения равно количеству точек пересечения этих графиков.

• График функции $y = 3^x$ — это показательная функция. Она является строго возрастающей и выпуклой вниз. График проходит через точки $(0, 1)$ и $(1, 3)$.
• График функции $y = x + 2$ — это прямая линия, также возрастающая. График проходит через точки $(0, 2)$ и $(-2, 0)$.

Попробуем найти целочисленные решения подбором. При $x=1$: $3^1 = 3$ и $1+2=3$. Равенство верное, значит $x=1$ является одним из решений. Это первая точка пересечения. Теперь исследуем поведение функций при других значениях $\text{x}$, чтобы найти другие возможные точки пересечения. При $x=0$: $3^0 = 1$, а $x+2 = 2$. График экспоненты находится ниже прямой ($1 < 2$). При $x=-2$: $3^{-2} = 1/9$, а $x+2 = 0$. График экспоненты находится выше прямой ($1/9 > 0$). На интервале от $-2$ до $\text{0}$ взаимное расположение графиков изменилось: в точке $x=-2$ экспонента была выше прямой, а в точке $x=0$ оказалась ниже. Поскольку обе функции непрерывны, это означает, что на интервале $(-2, 0)$ есть еще одна точка пересечения. Таким образом, мы нашли два решения. Прямая линия может пересекать выпуклую кривую (каковой является график $y=3^x$) не более чем в двух точках. Следовательно, других решений нет.

Ответ: 2.