Номер 7.37, страница 54, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

7.37. 1) $|x-3|^{3x^2-10x+3} = 1$;

2) $(x^2-x-1)^{x^2-1} = 1$.

1)

Решим показательное уравнение $|x-3|^{3x^2 - 10x + 3} = 1$.

Уравнение вида $a^b = 1$ имеет решения в трех случаях:

а) Основание равно 1. В нашем случае $|x-3| = 1$.

Это уравнение равносильно совокупности двух уравнений:

$x-3 = 1 \quad \implies \quad x_1 = 4$

$x-3 = -1 \quad \implies \quad x_2 = 2$

б) Показатель степени равен 0, при условии что основание не равно 0. В нашем случае $3x^2 - 10x + 3 = 0$ и $|x-3| \neq 0$.

Решим квадратное уравнение $3x^2 - 10x + 3 = 0$.

Дискриминант $D = (-10)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3 = 100 - 36 = 64$.

Корни уравнения:

$x_3 = \frac{10 + \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{10 + 8}{6} = \frac{18}{6} = 3$

$x_4 = \frac{10 - \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{10 - 8}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

Теперь проверим условие $|x-3| \neq 0$.

При $x = 3$, основание $|3-3| = 0$. Так как выражение $0^0$ не определено, $x=3$ не является корнем уравнения.

При $x = \frac{1}{3}$, основание $|\frac{1}{3}-3| = |-\frac{8}{3}| = \frac{8}{3} \neq 0$. Следовательно, $x=\frac{1}{3}$ является корнем.

в) Основание равно -1, при условии что показатель степени является четным целым числом.

Уравнение $|x-3| = -1$ не имеет решений, так как модуль любого числа не может быть отрицательным.

Объединяя все найденные решения, получаем корни уравнения: $2, 4, \frac{1}{3}$.

Ответ: $\frac{1}{3}, 2, 4$.

2)

Решим показательное уравнение $(x^2 - x - 1)^{x^2 - 1} = 1$.

Уравнение вида $a^b = 1$ имеет решения в трех случаях:

а) Основание равно 1. В нашем случае $x^2 - x - 1 = 1$.

$x^2 - x - 2 = 0$

По теореме Виета, корни этого уравнения:

$x_1 = 2$

$x_2 = -1$

б) Показатель степени равен 0, при условии что основание не равно 0. В нашем случае $x^2 - 1 = 0$ и $x^2 - x - 1 \neq 0$.

Решим уравнение $x^2 - 1 = 0$:

$x_3 = 1$

$x_4 = -1$

Теперь проверим условие $x^2 - x - 1 \neq 0$ для этих корней.

При $x = 1$, основание $1^2 - 1 - 1 = -1 \neq 0$. Следовательно, $x=1$ является корнем.

При $x = -1$, основание $(-1)^2 - (-1) - 1 = 1+1-1=1 \neq 0$. Следовательно, $x=-1$ является корнем (этот корень уже найден в пункте а).

в) Основание равно -1, при условии что показатель степени является четным целым числом. В нашем случае $x^2 - x - 1 = -1$ и $x^2-1$ — четное целое число.

Решим уравнение $x^2 - x - 1 = -1$:

$x^2 - x = 0$

$x(x-1) = 0$

$x_5 = 0$

$x_6 = 1$

Теперь проверим условие для показателя $x^2-1$.

При $x = 0$, показатель $0^2-1 = -1$. Это нечетное число. Проверка: $(-1)^{-1} = -1 \neq 1$. Значит, $x=0$ не является корнем.

При $x = 1$, показатель $1^2-1 = 0$. Нуль является четным числом. Проверка: $(-1)^0 = 1$. Значит, $x=1$ является корнем (этот корень уже найден в пункте б).

Объединяя все уникальные решения из всех случаев, получаем корни уравнения: $-1, 1, 2$.

Ответ: $-1, 1, 2$.