Номер 7.36, страница 54, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

7.36. 1) $5^{2+4+...+2x} = 0.04^{-45}$;

2) $2^{|x+2|} - |2^{x+1} - 1| = 2^{x+1} + 1$.

1) $5^{2+4+...+2x} = 0,04^{-45}$

Для решения данного показательного уравнения необходимо привести обе его части к одинаковому основанию.

Рассмотрим показатель степени в левой части уравнения: $2+4+...+2x$. Это сумма членов арифметической прогрессии, где первый член $a_1 = 2$, разность $d=2$, а последний член $a_n = 2x$. Количество членов в этой прогрессии равно $\text{x}$. Сумма арифметической прогрессии вычисляется по формуле $S_n = \frac{(a_1 + a_n)n}{2}$.

В нашем случае сумма равна:

$S_x = \frac{(2+2x)x}{2} = \frac{2(1+x)x}{2} = x(x+1) = x^2+x$.

Теперь преобразуем правую часть уравнения. Представим десятичную дробь $0,04$ в виде степени с основанием 5:

$0,04 = \frac{4}{100} = \frac{1}{25} = \frac{1}{5^2} = 5^{-2}$.

Тогда правая часть уравнения примет вид:

$0,04^{-45} = (5^{-2})^{-45} = 5^{(-2) \cdot (-45)} = 5^{90}$.

Теперь исходное уравнение можно переписать в виде:

$5^{x^2+x} = 5^{90}$.

Поскольку основания степеней равны, мы можем приравнять их показатели:

$x^2+x = 90$

$x^2+x-90 = 0$

Получили квадратное уравнение. Решим его с помощью дискриминанта или по теореме Виета. По теореме Виета, сумма корней равна $-1$, а их произведение равно $-90$. Подбором находим корни:

$x_1 = 9$

$x_2 = -10$

Однако, в выражении $2+4+...+2x$ подразумевается, что $\text{x}$ является натуральным числом, так как оно определяет количество слагаемых в прогрессии, состоящей из положительных чисел. Поэтому корень $x=-10$ является посторонним.

Ответ: $x=9$.

2) $2^{|x+2|} - |2^{x+1} - 1| = 2^{x+1} + 1$

Для решения этого уравнения необходимо раскрыть модули. Это делается путем рассмотрения случаев в зависимости от знаков выражений под модулем.

Найдем точки, в которых выражения под модулем меняют знак:

1. $x+2=0 \implies x=-2$

2. $2^{x+1}-1=0 \implies 2^{x+1}=1 \implies 2^{x+1}=2^0 \implies x+1=0 \implies x=-1$

Эти точки делят числовую ось на три интервала. Раскроем модули на каждом из них.

Случай 1: $x < -2$.

На этом интервале $x+2 < 0$, поэтому $|x+2| = -(x+2)$.

Также $x+1 < -1$, поэтому $2^{x+1} < 2^{-1} = 0,5$. Значит, $2^{x+1}-1 < 0$, и $|2^{x+1}-1| = -(2^{x+1}-1) = 1-2^{x+1}$.

Уравнение принимает вид:

$2^{-(x+2)} - (1-2^{x+1}) = 2^{x+1} + 1$

$2^{-x-2} - 1 + 2^{x+1} = 2^{x+1} + 1$

$2^{-x-2} = 2$

$2^{-x-2} = 2^1$

$-x-2=1 \implies -x=3 \implies x=-3$.

Значение $x=-3$ удовлетворяет условию $x < -2$, значит, это корень.

Случай 2: $-2 \le x < -1$.

На этом интервале $x+2 \ge 0$, поэтому $|x+2| = x+2$.

Выражение $2^{x+1}-1$ по-прежнему отрицательно, так как $x+1 < 0$, поэтому $2^{x+1} < 1$. Значит, $|2^{x+1}-1| = 1-2^{x+1}$.

Уравнение принимает вид:

$2^{x+2} - (1-2^{x+1}) = 2^{x+1} + 1$

$2^{x+2} - 1 + 2^{x+1} = 2^{x+1} + 1$

$2^{x+2} = 2$

$2^{x+2} = 2^1$

$x+2=1 \implies x=-1$.

Полученное значение $x=-1$ не входит в рассматриваемый интервал $[-2; -1)$, поэтому на этом интервале решений нет.

Случай 3: $x \ge -1$.

На этом интервале $x+2 > 0$, поэтому $|x+2| = x+2$.

Также $x+1 \ge 0$, поэтому $2^{x+1} \ge 1$, и $2^{x+1}-1 \ge 0$. Значит, $|2^{x+1}-1| = 2^{x+1}-1$.

Уравнение принимает вид:

$2^{x+2} - (2^{x+1}-1) = 2^{x+1} + 1$

$2^{x+2} - 2^{x+1} + 1 = 2^{x+1} + 1$

$2^{x+2} = 2 \cdot 2^{x+1}$

$2^{x+2} = 2^{1+(x+1)}$

$2^{x+2} = 2^{x+2}$

Получено тождество $0=0$, которое верно для всех $\text{x}$ из рассматриваемого промежутка. Следовательно, решением является весь промежуток $x \ge -1$.

Объединяя все найденные решения, получаем один корень $x=-3$ и промежуток $[-1; +\infty)$.

Ответ: $\{-3\} \cup [-1; +\infty)$.