Номер 7.41, страница 54, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

7.41. Пусть $ \lg 2 = m $, $ \lg 3 = n $. Найдите $ \log_5 6 $.

По условию задачи дано, что $lg\ 2 = m$ и $lg\ 3 = n$. Обозначение $lg$ соответствует десятичному логарифму, то есть логарифму по основанию 10. Наша цель — выразить $log_5 6$ через $\text{m}$ и $\text{n}$.

Для решения этой задачи мы воспользуемся формулой перехода к новому основанию логарифма: $log_a b = \frac{log_c b}{log_c a}$. В качестве нового основания $\text{c}$ удобно выбрать 10, так как даны значения десятичных логарифмов.

Применим формулу к нашему выражению:

$log_5 6 = \frac{log_{10} 6}{log_{10} 5} = \frac{lg\ 6}{lg\ 5}$

Теперь необходимо выразить числитель $lg\ 6$ и знаменатель $lg\ 5$ через $\text{m}$ и $\text{n}$.

1. Выразим числитель $lg\ 6$:

Используя свойство логарифма произведения $log(x \cdot y) = log(x) + log(y)$, представим число 6 как произведение $2 \cdot 3$:

$lg\ 6 = lg(2 \cdot 3) = lg\ 2 + lg\ 3$

Подставив известные значения $lg\ 2 = m$ и $lg\ 3 = n$, получаем:

$lg\ 6 = m + n$

2. Выразим знаменатель $lg\ 5$:

Чтобы выразить $lg\ 5$ через известные величины, представим число 5 как частное $\frac{10}{2}$. Далее используем свойство логарифма частного $log(\frac{x}{y}) = log(x) - log(y)$:

$lg\ 5 = lg(\frac{10}{2}) = lg\ 10 - lg\ 2$

По определению десятичного логарифма, $lg\ 10 = log_{10} 10 = 1$. Подставляя это значение и $lg\ 2 = m$, получаем:

$lg\ 5 = 1 - m$

Теперь, когда мы выразили и числитель, и знаменатель, подставим их обратно в формулу для $log_5 6$:

$log_5 6 = \frac{lg\ 6}{lg\ 5} = \frac{m + n}{1 - m}$

Ответ: $\frac{m+n}{1-m}$