Номер 7.44, страница 59, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

7.44. Решите уравнение:

1) $lg(5 - x) + lgx = lg4$;

2) $lg(x + 1) + lg(x - 1) = lg3$;

3) $ln(6 - x) + lnx = ln5$;

4) $lgx + lg(x - 3) = 10$.

1) $\lg(5 - x) + \lg{x} = \lg{4}$

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть строго положительными:

$\begin{cases} 5 - x > 0 \\ x > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x < 5 \\ x > 0 \end{cases} \implies x \in (0; 5)$

Используем свойство суммы логарифмов: $\log_a b + \log_a c = \log_a (bc)$.

$\lg((5 - x)x) = \lg{4}$

Так как основания логарифмов одинаковы (равны 10), мы можем приравнять их аргументы:

$(5 - x)x = 4$

$5x - x^2 = 4$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 - 5x + 4 = 0$

Решим это уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 5, а их произведение равно 4. Легко подобрать корни:

$x_1 = 1$, $x_2 = 4$

Оба найденных корня ($\text{1}$ и $\text{4}$) принадлежат области допустимых значений $x \in (0; 5)$, следовательно, оба являются решениями исходного уравнения.

Ответ: $1; 4$.

2) $\lg(x + 1) + \lg(x - 1) = \lg{3}$

Определим ОДЗ:

$\begin{cases} x + 1 > 0 \\ x - 1 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > -1 \\ x > 1 \end{cases} \implies x \in (1; +\infty)$

Применим свойство суммы логарифмов:

$\lg((x + 1)(x - 1)) = \lg{3}$

Используем формулу разности квадратов $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$:

$\lg(x^2 - 1) = \lg{3}$

Приравниваем аргументы логарифмов:

$x^2 - 1 = 3$

$x^2 = 4$

Отсюда получаем два возможных значения для $\text{x}$:

$x_1 = 2$, $x_2 = -2$

Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x > 1$). Корень $x = 2$ удовлетворяет условию. Корень $x = -2$ не удовлетворяет условию, поэтому является посторонним.

Ответ: $\text{2}$.

3) $\ln(6 - x) + \ln{x} = \ln{5}$

ОДЗ для натуральных логарифмов определяется так же, как и для десятичных:

$\begin{cases} 6 - x > 0 \\ x > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x < 6 \\ x > 0 \end{cases} \implies x \in (0; 6)$

Используем свойство суммы логарифмов:

$\ln((6 - x)x) = \ln{5}$

Приравниваем аргументы:

$(6 - x)x = 5$

$6x - x^2 = 5$

$x^2 - 6x + 5 = 0$

По теореме Виета, сумма корней равна 6, а их произведение равно 5. Корни уравнения:

$x_1 = 1$, $x_2 = 5$

Оба корня ($\text{1}$ и $\text{5}$) принадлежат ОДЗ $x \in (0; 6)$, значит, оба являются решениями.

Ответ: $1; 5$.

4) $\lg{x} + \lg(x - 3) = 1$

Найдем ОДЗ:

$\begin{cases} x > 0 \\ x - 3 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > 0 \\ x > 3 \end{cases} \implies x \in (3; +\infty)$

Применяем свойство суммы логарифмов:

$\lg(x(x - 3)) = 1$

По определению десятичного логарифма ($\lg{A} = B \iff A = 10^B$):

$x(x - 3) = 10^1$

$x^2 - 3x = 10$

$x^2 - 3x - 10 = 0$

Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 3, а произведение равно -10. Корни:

$x_1 = 5$, $x_2 = -2$

Проверяем корни по ОДЗ ($x > 3$). Корень $x = 5$ удовлетворяет условию. Корень $x = -2$ не удовлетворяет условию, поэтому является посторонним.

Ответ: $\text{5}$.