Номер 7.43, страница 59, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

7.43. Решите уравнение:

1) $\lg(3 - x) = \lg(x + 2);$

2) $\lg x + \lg(x - 1) = \lg 2;$

3) $\log_3(x + 1) = \log_3(4x - 5);$

4) $\log_2(4 - x) = \log_2(1 - 2x).$

1) Исходное уравнение: $lg(3 - x) = lg(x + 2)$.

Это логарифмическое уравнение, в котором равны логарифмы по одному и тому же основанию (в данном случае основание 10). Такое уравнение равносильно системе, в которой приравниваются аргументы логарифмов, и находятся допустимые значения переменной (ОДЗ), при которых аргументы обоих логарифмов строго положительны.

Найдем ОДЗ:

$3 - x > 0 \implies x < 3$

$x + 2 > 0 \implies x > -2$

Следовательно, ОДЗ: $x \in (-2; 3)$.

Теперь приравняем аргументы логарифмов, так как их основания равны:

$3 - x = x + 2$

Перенесем члены с $\text{x}$ в одну сторону, а константы в другую:

$3 - 2 = x + x$

$1 = 2x$

$x = \frac{1}{2}$ или $x = 0.5$

Проверим, принадлежит ли найденный корень ОДЗ. Так как $-2 < 0.5 < 3$, корень является решением уравнения.

Ответ: 0.5

2) Исходное уравнение: $lg(x) + lg(x - 1) = lg(2)$.

Сначала найдем ОДЗ:

$x > 0$

$x - 1 > 0 \implies x > 1$

Объединяя эти условия, получаем ОДЗ: $x \in (1; +\infty)$.

Воспользуемся свойством суммы логарифмов: $log_a(b) + log_a(c) = log_a(b \cdot c)$.

$lg(x \cdot (x - 1)) = lg(2)$

Теперь, когда основания логарифмов одинаковы, можно приравнять их аргументы:

$x(x - 1) = 2$

$x^2 - x = 2$

$x^2 - x - 2 = 0$

Это квадратное уравнение. Решим его по теореме Виета или через дискриминант. По теореме Виета: сумма корней равна 1, а их произведение равно -2. Корни уравнения: $x_1 = 2$ и $x_2 = -1$.

Проверим найденные корни на соответствие ОДЗ ($x > 1$):

$x_1 = 2$ — удовлетворяет условию $x > 1$.

$x_2 = -1$ — не удовлетворяет условию $x > 1$, поэтому это посторонний корень.

Таким образом, решением является только $x = 2$.

Ответ: 2

3) Исходное уравнение: $log_5(x + 1) = log_5(4x - 5)$.

Найдем ОДЗ, при котором аргументы логарифмов положительны:

$x + 1 > 0 \implies x > -1$

$4x - 5 > 0 \implies 4x > 5 \implies x > \frac{5}{4}$ или $x > 1.25$

Общее ОДЗ: $x \in (1.25; +\infty)$.

Так как основания логарифмов равны (основание 5), приравниваем их аргументы:

$x + 1 = 4x - 5$

$1 + 5 = 4x - x$

$6 = 3x$

$x = \frac{6}{3}$

$x = 2$

Проверяем корень: $x = 2$ принадлежит ОДЗ, так как $2 > 1.25$.

Ответ: 2

4) Исходное уравнение: $log_2(4 - x) = log_2(1 - 2x)$.

Найдем ОДЗ:

$4 - x > 0 \implies x < 4$

$1 - 2x > 0 \implies 1 > 2x \implies x < \frac{1}{2}$ или $x < 0.5$

Общее ОДЗ для уравнения: $x \in (-\infty; 0.5)$.

Приравниваем аргументы логарифмов с одинаковым основанием 2:

$4 - x = 1 - 2x$

$2x - x = 1 - 4$

$x = -3$

Проверяем корень: $x = -3$ принадлежит ОДЗ, так как $-3 < 0.5$.

Ответ: -3