Номер 7.50, страница 60, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

7.50. Решите систему уравнений:

1) $\begin{cases} x + y = 7, \\ \lg x + \lg y = 1; \end{cases}$

2) $\begin{cases} x + y = 34, \\ \log_{2} x + \log_{2} y = 6; \end{cases}$

3) $\begin{cases} \log_{\frac{1}{3}} (x + y) = 2, \\ \log_{3} (x - y) = 2; \end{cases}$

4) $\begin{cases} x + y = 20, \\ \log_{4} x + \log_{4} y = \log_{4} 36. \end{cases}$

1)

Дана система уравнений: $ \begin{cases} x + y = 7, \\ \lg x + \lg y = 1; \end{cases} $

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условиями существования логарифмов: $x > 0$ и $y > 0$.

Преобразуем второе уравнение системы, используя свойство суммы логарифмов $\lg a + \lg b = \lg(ab)$:

$\lg(xy) = 1$

По определению десятичного логарифма, это уравнение равносильно следующему:

$xy = 10^1$

$xy = 10$

Таким образом, исходная система сводится к системе:

$ \begin{cases} x + y = 7, \\ xy = 10. \end{cases} $

Согласно теореме, обратной теореме Виета, переменные $\text{x}$ и $\text{y}$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - (x+y)t + xy = 0$. Подставим известные значения:

$t^2 - 7t + 10 = 0$

Найдем корни этого уравнения. Дискриминант $D = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 10 = 49 - 40 = 9$.

$t_1 = \frac{7 - \sqrt{9}}{2} = \frac{7 - 3}{2} = 2$

$t_2 = \frac{7 + \sqrt{9}}{2} = \frac{7 + 3}{2} = 5$

Следовательно, решениями системы являются пары чисел $(2, 5)$ и $(5, 2)$. Оба решения удовлетворяют ОДЗ ($x>0, y>0$).

Ответ: $(2, 5), (5, 2)$.

2)

Дана система уравнений: $ \begin{cases} x + y = 34, \\ \log_2 x + \log_2 y = 6; \end{cases} $

ОДЗ: $x > 0$ и $y > 0$.

Используя свойство логарифмов, преобразуем второе уравнение:

$\log_2(xy) = 6$

По определению логарифма:

$xy = 2^6$

$xy = 64$

Получаем систему:

$ \begin{cases} x + y = 34, \\ xy = 64. \end{cases} $

По теореме, обратной теореме Виета, $\text{x}$ и $\text{y}$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - 34t + 64 = 0$.

Найдем корни. Дискриминант $D = (-34)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 64 = 1156 - 256 = 900 = 30^2$.

$t_1 = \frac{34 - 30}{2} = \frac{4}{2} = 2$

$t_2 = \frac{34 + 30}{2} = \frac{64}{2} = 32$

Решениями системы являются пары $(2, 32)$ и $(32, 2)$. Оба решения удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $(2, 32), (32, 2)$.

3)

Дана система уравнений: $ \begin{cases} \log_{\frac{1}{3}}(x+y) = 2, \\ \log_3(x-y) = 2; \end{cases} $

ОДЗ: $x+y > 0$ и $x-y > 0$.

Преобразуем каждое уравнение системы по определению логарифма.

Из первого уравнения: $x+y = (\frac{1}{3})^2 = \frac{1}{9}$.

Из второго уравнения: $x-y = 3^2 = 9$.

Получаем систему линейных уравнений:

$ \begin{cases} x+y = \frac{1}{9}, \\ x-y = 9. \end{cases} $

Сложим два уравнения, чтобы найти $\text{x}$:

$(x+y) + (x-y) = \frac{1}{9} + 9$

$2x = \frac{1+81}{9} = \frac{82}{9}$

$x = \frac{41}{9}$

Подставим значение $\text{x}$ в первое уравнение, чтобы найти $\text{y}$:

$\frac{41}{9} + y = \frac{1}{9}$

$y = \frac{1}{9} - \frac{41}{9} = -\frac{40}{9}$

Проверим, удовлетворяет ли решение ОДЗ:

$x+y = \frac{41}{9} + (-\frac{40}{9}) = \frac{1}{9} > 0$ (верно)

$x-y = \frac{41}{9} - (-\frac{40}{9}) = \frac{41+40}{9} = \frac{81}{9} = 9 > 0$ (верно)

Таким образом, решение системы — единственная пара чисел.

Ответ: $(\frac{41}{9}, -\frac{40}{9})$.

4)

Дана система уравнений: $ \begin{cases} x + y = 20, \\ \log_4 x + \log_4 y = \log_4 36; \end{cases} $

ОДЗ: $x > 0$ и $y > 0$.

Преобразуем второе уравнение, используя свойство суммы логарифмов:

$\log_4(xy) = \log_4 36$

Поскольку основания логарифмов одинаковы, мы можем приравнять выражения, стоящие под знаком логарифма:

$xy = 36$

Получаем эквивалентную систему:

$ \begin{cases} x + y = 20, \\ xy = 36. \end{cases} $

По теореме, обратной теореме Виета, $\text{x}$ и $\text{y}$ — корни квадратного уравнения $t^2 - 20t + 36 = 0$.

Решим это уравнение. Дискриминант $D = (-20)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 36 = 400 - 144 = 256 = 16^2$.

$t_1 = \frac{20 - 16}{2} = \frac{4}{2} = 2$

$t_2 = \frac{20 + 16}{2} = \frac{36}{2} = 18$

Решениями системы являются пары $(2, 18)$ и $(18, 2)$. Оба решения удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $(2, 18), (18, 2)$.