Номер 7.55, страница 61, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

7.55. Решите уравнение:

1) $ \lg x + \lg x^2 + \lg x^3 = 6 $

2) $ \frac{\lg x}{1 - \lg x} = 3 $

3) $ \log_2 \log_2 \log_2 x = 0 $

4) $ 10^{x + \lg 2} = 20 $

1) $\lg x + \lg x^2 + \lg x^3 = 6$

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть строго положительным, поэтому $x > 0$.

Используем свойство логарифма $\log_a(b^n) = n \cdot \log_a b$, чтобы упростить уравнение:

$\lg x + 2\lg x + 3\lg x = 6$

Приведем подобные слагаемые в левой части уравнения:

$(1 + 2 + 3)\lg x = 6$

$6\lg x = 6$

Разделим обе части на 6:

$\lg x = 1$

По определению десятичного логарифма ($ \lg x = \log_{10} x $), если $\lg x = 1$, то:

$x = 10^1 = 10$

Полученное значение $x=10$ удовлетворяет ОДЗ ($10 > 0$), следовательно, является корнем уравнения.

Ответ: $10$.

2) $\frac{\lg x}{1 - \lg x} = 3$

ОДЗ определяется двумя условиями: аргумент логарифма должен быть положительным ($x > 0$) и знаменатель дроби не должен быть равен нулю ($1 - \lg x \neq 0$).

Из второго условия получаем:

$\lg x \neq 1 \implies x \neq 10^1 \implies x \neq 10$

Таким образом, ОДЗ: $x > 0$ и $x \neq 10$.

Теперь решим уравнение. Умножим обе части на знаменатель $1 - \lg x$:

$\lg x = 3(1 - \lg x)$

Раскроем скобки:

$\lg x = 3 - 3\lg x$

Перенесем слагаемые с $\lg x$ в левую часть:

$\lg x + 3\lg x = 3$

$4\lg x = 3$

$\lg x = \frac{3}{4}$

По определению логарифма:

$x = 10^{3/4}$

Это значение удовлетворяет ОДЗ ($10^{3/4} > 0$ и $10^{3/4} \neq 10$).

Ответ: $10^{3/4}$.

3) $\log_2 \log_2 \log_2 x = 0$

Для нахождения ОДЗ необходимо, чтобы аргумент каждого из логарифмов был положителен:

1. $x > 0$

2. $\log_2 x > 0 \implies x > 2^0 \implies x > 1$

3. $\log_2(\log_2 x) > 0 \implies \log_2 x > 2^0 \implies \log_2 x > 1 \implies x > 2^1 \implies x > 2$

Наиболее строгим является условие $x > 2$, это и есть ОДЗ.

Решаем уравнение последовательно, используя определение логарифма ($\log_a B = C \iff B = a^C$). Начнем с внешнего логарифма:

$\log_2(\log_2 x) = 2^0 = 1$

Теперь решаем полученное уравнение относительно среднего логарифма:

$\log_2 x = 2^1 = 2$

И наконец, находим $\text{x}$:

$x = 2^2 = 4$

Значение $x=4$ удовлетворяет ОДЗ ($4 > 2$).

Ответ: $\text{4}$.

4) $10^{x+\lg^2} = 20$

Запись этого уравнения неоднозначна. Предположим, что имелось в виду уравнение $10^{1 + (\lg x)^2} = 20$, где первый символ в показателе степени — это $\text{1}$, а $\lg^2 x$ означает $(\lg x)^2$.

ОДЗ: $x > 0$.

Прологарифмируем обе части уравнения по основанию 10:

$\lg(10^{1 + (\lg x)^2}) = \lg(20)$

Используя основное логарифмическое тождество $\log_a(a^b) = b$, получаем:

$1 + (\lg x)^2 = \lg(20)$

Выразим $(\lg x)^2$:

$(\lg x)^2 = \lg(20) - 1$

Представим $\text{1}$ как $\lg(10)$ и применим свойство разности логарифмов $\lg a - \lg b = \lg(a/b)$:

$(\lg x)^2 = \lg(20) - \lg(10) = \lg(\frac{20}{10})$

$(\lg x)^2 = \lg(2)$

Отсюда следует, что:

$\lg x = \sqrt{\lg 2}$ или $\lg x = -\sqrt{\lg 2}$

Находим два возможных значения для $\text{x}$:

$x_1 = 10^{\sqrt{\lg 2}}$

$x_2 = 10^{-\sqrt{\lg 2}}$

Оба корня являются положительными числами и удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $10^{\sqrt{\lg 2}}$, $10^{-\sqrt{\lg 2}}$.