Номер 7.61, страница 62, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

7.61. Применяя графический метод, определите, сколько решений имеет уравнение:

1) $\lg x - \frac{x}{2} + 4 = 0$;

2) $\log_2(x + 3) = 3 - x$.

1) Чтобы определить количество решений уравнения $\lg x - \frac{x}{2} + 4 = 0$ графическим методом, представим его в виде равенства двух функций. Перенесем часть слагаемых в правую часть:

$\lg x = \frac{x}{2} - 4$.

Теперь построим в одной системе координат графики двух функций: $y = \lg x$ и $y = \frac{x}{2} - 4$. Количество точек пересечения этих графиков будет равно количеству решений исходного уравнения.

1. График функции $y = \lg x$ — это логарифмическая кривая (десятичный логарифм).

• Область определения: $x > 0$.
• Функция возрастающая.
• График проходит через точку $(1, 0)$, так как $\lg 1 = 0$.
• При $x \to 0^+$, $y \to -\infty$. Ось $Oy$ является вертикальной асимптотой.

• Функция возрастающая, так как угловой коэффициент $\frac{1}{2} > 0$.
• График пересекает ось $Oy$ в точке $(0, -4)$.
• График пересекает ось $Ox$ в точке $(8, 0)$, так как $\frac{x}{2} - 4 = 0 \Rightarrow x = 8$.

Проанализируем взаимное расположение графиков. При $x \to 0^+$, график логарифма уходит в $-\infty$, а прямая стремится к значению $-4$. Значит, вблизи нуля прямая находится выше графика логарифма. В точке $x=1$ имеем: $y = \lg 1 = 0$ и $y = \frac{1}{2} - 4 = -3.5$. График логарифма выше прямой.

Поскольку графики непрерывны, это означает, что на интервале $(0, 1)$ есть одна точка пересечения.

Проверим точку $x=10$: $y = \lg 10 = 1$ и $y = \frac{10}{2} - 4 = 5 - 4 = 1$. Значения совпали, значит, $x=10$ — это корень уравнения, и в этой точке графики пересекаются.

При $x > 10$ линейная функция $y = \frac{x}{2} - 4$ растет быстрее, чем логарифмическая $y = \lg x$. Например, при $x=100$, $y = \lg 100 = 2$, а $y = \frac{100}{2} - 4 = 46$. Прямая будет все дальше уходить вверх от логарифмической кривой, и других пересечений не будет.

Таким образом, графики функций пересекаются в двух точках.

Ответ: 2 решения.

2) Для решения уравнения $\log_2(x + 3) = 3 - x$ используем графический метод. Уравнение уже представлено в виде равенства двух функций.

Построим в одной системе координат графики функций $y = \log_2(x + 3)$ и $y = 3 - x$.

1. График функции $y = \log_2(x + 3)$ — это логарифмическая кривая.

• Область определения: $x + 3 > 0$, то есть $x > -3$.
• Вертикальная асимптота: прямая $x = -3$.
• Функция является строго возрастающей, так как основание логарифма $2 > 1$.
• График проходит через точку $(-2, 0)$, так как $\log_2(-2 + 3) = \log_2(1) = 0$.
• График проходит через точку $(1, 2)$, так как $\log_2(1 + 3) = \log_2(4) = 2$.

• Функция является строго убывающей, так как угловой коэффициент $-1 < 0$.
• График пересекает оси координат в точках $(0, 3)$ и $(3, 0)$.

Сравним поведение функций. Функция $y = \log_2(x + 3)$ является строго возрастающей на всей своей области определения, а функция $y = 3 - x$ — строго убывающей. Строго возрастающая и строго убывающая функции могут пересечься не более одного раза.

Попробуем найти точку пересечения. Проверим значение $x=1$:

Левая часть: $y = \log_2(1 + 3) = \log_2(4) = 2$.

Правая часть: $y = 3 - 1 = 2$.

Так как значения совпали, точка $(1, 2)$ является точкой пересечения графиков. Поскольку такое пересечение может быть только одно, других решений уравнение не имеет.

Ответ: 1 решение.