Номер 7.68, страница 63, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

7.68. При каких значениях $\text{a}$ уравнение $\lg(x^2 + 2ax) - \lg(8x - 6a - 3) = 0$ имеет единственный корень?

Исходное уравнение $\lg(x^2+2ax) - \lg(8x-6a-3) = 0$ равносильно уравнению $\lg(x^2+2ax) = \lg(8x-6a-3)$ при условии, что аргументы логарифмов положительны.

Это, в свою очередь, равносильно системе:

$ \begin{cases} x^2+2ax = 8x-6a-3 \\ 8x-6a-3 > 0 \end{cases} $

Заметим, что из этой системы автоматически следует и условие $x^2+2ax > 0$, так как левая часть уравнения равна правой, а правая — строго больше нуля.

Преобразуем уравнение системы в стандартный вид квадратного уравнения относительно $\text{x}$:

$x^2 + 2ax - 8x + 6a + 3 = 0$

$x^2 + (2a-8)x + (6a+3) = 0$

Задача свелась к нахождению таких значений параметра $\text{a}$, при которых это квадратное уравнение имеет ровно один корень, удовлетворяющий неравенству $8x - 6a - 3 > 0$.

Рассмотрим два возможных случая.

Случай 1: Квадратное уравнение имеет единственный корень.

Это возможно, если его дискриминант $\text{D}$ равен нулю.

$D = (2a-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (6a+3) = 4a^2 - 32a + 64 - 24a - 12 = 4a^2 - 56a + 52$.

Приравняем дискриминант к нулю:

$4a^2 - 56a + 52 = 0$

$a^2 - 14a + 13 = 0$

По теореме Виета находим корни: $a_1 = 1$, $a_2 = 13$.

Если $D=0$, то единственный корень квадратного уравнения вычисляется по формуле $x = -\frac{b}{2a_{coeff}} = -\frac{2a-8}{2} = 4-a$.

Теперь нужно проверить, удовлетворяет ли этот корень условию $8x - 6a - 3 > 0$.

1) При $a=1$: корень $x = 4-1 = 3$. Проверяем условие: $8(3) - 6(1) - 3 = 24 - 6 - 3 = 15$. Так как $15 > 0$, условие выполнено. Следовательно, $a=1$ является решением.

2) При $a=13$: корень $x = 4-13 = -9$. Проверяем условие: $8(-9) - 6(13) - 3 = -72 - 78 - 3 = -153$. Так как $-153 < 0$, условие не выполнено. Следовательно, $a=13$ не является решением.

Случай 2: Квадратное уравнение имеет два различных корня, но только один из них удовлетворяет условию.

Это означает, что дискриминант $D > 0$, т.е. $a^2 - 14a + 13 > 0$, что верно при $a \in (-\infty, 1) \cup (13, \infty)$.

Пусть $f(x) = x^2 + (2a-8)x + (6a+3)$, а $x_1$ и $x_2$ — его корни.

Условие на корни — $8x - 6a - 3 > 0$, или $x > \frac{6a+3}{8}$.

Ситуация, когда только один из двух корней ($x_1, x_2$) удовлетворяет этому неравенству, возникает, когда число $x_0 = \frac{6a+3}{8}$ находится между корнями, либо совпадает с одним из них.

Для параболы $y=f(x)$, ветви которой направлены вверх, это эквивалентно условию $f(x_0) \le 0$.

Вычислим значение $f(x_0)$:

$f\left(\frac{6a+3}{8}\right) = \left(\frac{6a+3}{8}\right)^2 + (2a-8)\left(\frac{6a+3}{8}\right) + (6a+3)$

Вынесем общий множитель $(6a+3)$:

$f(x_0) = (6a+3) \left[ \frac{6a+3}{64} + \frac{2a-8}{8} + 1 \right] = (6a+3) \left[ \frac{6a+3 + 8(2a-8) + 64}{64} \right]$

$f(x_0) = \frac{6a+3}{64} [6a+3 + 16a-64+64] = \frac{(6a+3)(22a+3)}{64} = \frac{3(2a+1)(22a+3)}{64}$.

Теперь решим неравенство $f(x_0) \le 0$:

$\frac{3(2a+1)(22a+3)}{64} \le 0$

$(2a+1)(22a+3) \le 0$

Корни левой части: $a = -1/2$ и $a = -3/22$.

Методом интервалов получаем решение неравенства: $a \in [-1/2, -3/22]$.

Проверим, выполняется ли для этого отрезка условие $D>0$. Отрезок $[-1/2, -3/22]$ полностью содержится в интервале $(-\infty, 1)$, где $D>0$. Следовательно, при всех $\text{a}$ из этого отрезка квадратное уравнение имеет два различных корня, и только один из них удовлетворяет условию ОДЗ. Значит, все значения $\text{a}$ из отрезка $[-1/2, -3/22]$ являются решениями.

Объединяя результаты, полученные в обоих случаях, мы получаем все значения параметра $\text{a}$, при которых исходное уравнение имеет единственный корень.

Ответ: $a \in [-1/2, -3/22] \cup \{1\}$.