Номер 7.71, страница 63, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

7.71*. Известно, что $\log_a 27 = b$. Найдите $\log_{\sqrt{a}} \sqrt[6]{a}$.

По условию задачи известно, что $log_a{27} = b$. Требуется найти значение выражения $log_{\sqrt{3}}{\sqrt[6]{a}}$.

Для начала преобразуем исходное равенство. Так как $27 = 3^3$, мы можем записать:

$log_a{27} = log_a{(3^3)}$

Используя свойство логарифма степени ($log_x{(y^z)} = z \cdot log_x{y}$), вынесем показатель степени из-под знака логарифма:

$3 \cdot log_a{3} = b$

Отсюда можно выразить $log_a{3}$:

$log_a{3} = \frac{b}{3}$

Нам будет удобнее работать с логарифмом по основанию 3. Применим формулу перехода к другому основанию, в данном случае $log_x{y} = \frac{1}{log_y{x}}$:

$log_3{a} = \frac{1}{log_a{3}}$

Подставив найденное ранее выражение для $log_a{3}$, получим:

$log_3{a} = \frac{1}{\frac{b}{3}} = \frac{3}{b}$

Теперь перейдем к выражению, значение которого нужно найти: $log_{\sqrt{3}}{\sqrt[6]{a}}$.

Представим основание $\sqrt{3}$ и аргумент $\sqrt[6]{a}$ в виде степеней:

$\sqrt{3} = 3^{\frac{1}{2}}$

$\sqrt[6]{a} = a^{\frac{1}{6}}$

Подставим это в наше выражение:

$log_{\sqrt{3}}{\sqrt[6]{a}} = log_{3^{\frac{1}{2}}}{a^{\frac{1}{6}}}$

Воспользуемся свойством логарифма $log_{c^k}{m^p} = \frac{p}{k} log_c{m}$:

$log_{3^{\frac{1}{2}}}{a^{\frac{1}{6}}} = \frac{\frac{1}{6}}{\frac{1}{2}} log_3{a}$

Упростим коэффициент перед логарифмом:

$\frac{\frac{1}{6}}{\frac{1}{2}} = \frac{1}{6} \cdot 2 = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

Таким образом, наше выражение равно:

$\frac{1}{3} log_3{a}$

Ранее мы установили, что $log_3{a} = \frac{3}{b}$. Подставим это значение:

$\frac{1}{3} \cdot log_3{a} = \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{b} = \frac{1}{b}$

Ответ: $\frac{1}{b}$