Номер 7.69, страница 63, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

7.69. Упростите выражение:

1) $\frac{a^{\frac{2}{3}} + b^{\frac{2}{3}}}{\left(a^2 - ab\right)^{\frac{2}{3}}} : \frac{a^{\frac{2}{3}}\sqrt{a} - b}{a^{1.5} - b^{1.5}} ;$

2) $\left( \frac{\left(a + \sqrt[3]{a^2 x}\right) : \left(x + \sqrt[3]{ax^2}\right) - 1}{\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{x}} - \frac{1}{\sqrt[3]{x}} \right)^6$

1)

Запишем исходное выражение:

$$ \frac{a^{\frac{8}{3}} + b^{\frac{8}{3}}}{(a^2 - ab)^{\frac{2}{3}}} : \frac{a^{\frac{2}{3}}\sqrt[3]{a-b}}{a^{1.5} - b^{1.5}} $$

Заменим деление на умножение на обратную дробь. Также преобразуем все степени с корнями и десятичными показателями в степени с дробными показателями: $a^{1.5} = a^{\frac{3}{2}}$, $\sqrt[3]{a-b} = (a-b)^{\frac{1}{3}}$ и $(a^2 - ab)^{\frac{2}{3}} = (a(a-b))^{\frac{2}{3}} = a^{\frac{2}{3}}(a-b)^{\frac{2}{3}}$.

$$ \frac{a^{\frac{8}{3}} + b^{\frac{8}{3}}}{a^{\frac{2}{3}}(a-b)^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{a^{\frac{3}{2}} - b^{\frac{3}{2}}}{a^{\frac{2}{3}}(a-b)^{\frac{1}{3}}} $$

Теперь перемножим дроби, объединив числители и знаменатели:

$$ \frac{(a^{\frac{8}{3}} + b^{\frac{8}{3}})(a^{\frac{3}{2}} - b^{\frac{3}{2}})}{a^{\frac{2}{3}}(a-b)^{\frac{2}{3}} \cdot a^{\frac{2}{3}}(a-b)^{\frac{1}{3}}} $$

Упростим знаменатель, используя свойство степеней $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$:

$$ a^{\frac{2}{3}} \cdot a^{\frac{2}{3}} = a^{\frac{2}{3}+\frac{2}{3}} = a^{\frac{4}{3}} $$

$$ (a-b)^{\frac{2}{3}} \cdot (a-b)^{\frac{1}{3}} = (a-b)^{\frac{2}{3}+\frac{1}{3}} = (a-b)^1 = a-b $$

Подставим упрощенный знаменатель обратно в выражение:

$$ \frac{(a^{\frac{8}{3}} + b^{\frac{8}{3}})(a^{\frac{3}{2}} - b^{\frac{3}{2}})}{a^{\frac{4}{3}}(a-b)} $$

В данном виде выражение не поддается дальнейшему существенному упрощению с помощью стандартных алгебраических тождеств. Это может свидетельствовать о наличии опечатки в условии задачи. Приведенный выше результат является максимально упрощенным для исходных данных.

Ответ: $$ \frac{(a^{\frac{8}{3}} + b^{\frac{8}{3}})(a^{\frac{3}{2}} - b^{\frac{3}{2}})}{a^{\frac{4}{3}}(a-b)} $$

2)

Упростим выражение по действиям. Сначала выполним деление в числителе большой дроби. Для удобства преобразуем все корни в степени с дробным показателем.

$$ (a + \sqrt[3]{a^2x}) : (x + \sqrt[3]{ax^2}) = (a + a^{\frac{2}{3}}x^{\frac{1}{3}}) : (x + a^{\frac{1}{3}}x^{\frac{2}{3}}) $$

Вынесем общие множители в делимом и делителе:

$$ a + a^{\frac{2}{3}}x^{\frac{1}{3}} = a^{\frac{2}{3}}(a^{\frac{1}{3}} + x^{\frac{1}{3}}) $$

$$ x + a^{\frac{1}{3}}x^{\frac{2}{3}} = x^{\frac{2}{3}}(x^{\frac{1}{3}} + a^{\frac{1}{3}}) $$

Теперь выполним деление:

$$ \frac{a^{\frac{2}{3}}(a^{\frac{1}{3}} + x^{\frac{1}{3}})}{x^{\frac{2}{3}}(a^{\frac{1}{3}} + x^{\frac{1}{3}})} = \frac{a^{\frac{2}{3}}}{x^{\frac{2}{3}}} $$

Подставим полученный результат в числитель большой дроби и вычтем 1:

$$ \frac{a^{\frac{2}{3}}}{x^{\frac{2}{3}}} - 1 = \frac{a^{\frac{2}{3}} - x^{\frac{2}{3}}}{x^{\frac{2}{3}}} $$

Теперь рассмотрим всю дробь внутри скобок:

$$ \frac{\frac{a^{\frac{2}{3}} - x^{\frac{2}{3}}}{x^{\frac{2}{3}}}}{\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{x}} = \frac{a^{\frac{2}{3}} - x^{\frac{2}{3}}}{x^{\frac{2}{3}}(a^{\frac{1}{3}} - x^{\frac{1}{3}})} $$

Разложим числитель по формуле разности квадратов $y^2 - z^2 = (y-z)(y+z)$, где $y=a^{\frac{1}{3}}$ и $z=x^{\frac{1}{3}}$:

$$ a^{\frac{2}{3}} - x^{\frac{2}{3}} = (a^{\frac{1}{3}})^2 - (x^{\frac{1}{3}})^2 = (a^{\frac{1}{3}} - x^{\frac{1}{3}})(a^{\frac{1}{3}} + x^{\frac{1}{3}}) $$

Подставим и сократим дробь:

$$ \frac{(a^{\frac{1}{3}} - x^{\frac{1}{3}})(a^{\frac{1}{3}} + x^{\frac{1}{3}})}{x^{\frac{2}{3}}(a^{\frac{1}{3}} - x^{\frac{1}{3}})} = \frac{a^{\frac{1}{3}} + x^{\frac{1}{3}}}{x^{\frac{2}{3}}} $$

Теперь выполним вычитание внутри больших скобок:

$$ \frac{a^{\frac{1}{3}} + x^{\frac{1}{3}}}{x^{\frac{2}{3}}} - \frac{1}{\sqrt[3]{x}} = \frac{a^{\frac{1}{3}} + x^{\frac{1}{3}}}{x^{\frac{2}{3}}} - \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} $$

Приведем вторую дробь к общему знаменателю $x^{\frac{2}{3}}$, домножив ее числитель и знаменатель на $x^{\frac{1}{3}}$:

$$ \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} = \frac{1 \cdot x^{\frac{1}{3}}}{x^{\frac{1}{3}} \cdot x^{\frac{1}{3}}} = \frac{x^{\frac{1}{3}}}{x^{\frac{2}{3}}} $$

Выполним вычитание дробей с одинаковым знаменателем:

$$ \frac{a^{\frac{1}{3}} + x^{\frac{1}{3}}}{x^{\frac{2}{3}}} - \frac{x^{\frac{1}{3}}}{x^{\frac{2}{3}}} = \frac{a^{\frac{1}{3}} + x^{\frac{1}{3}} - x^{\frac{1}{3}}}{x^{\frac{2}{3}}} = \frac{a^{\frac{1}{3}}}{x^{\frac{2}{3}}} $$

Наконец, возведем полученный результат в степень 6:

$$ \left( \frac{a^{\frac{1}{3}}}{x^{\frac{2}{3}}} \right)^6 = \frac{(a^{\frac{1}{3}})^6}{(x^{\frac{2}{3}})^6} = \frac{a^{\frac{1}{3} \cdot 6}}{x^{\frac{2}{3} \cdot 6}} = \frac{a^2}{x^4} $$

Ответ: $$ \frac{a^2}{x^4} $$