Номер 7.73, страница 65, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

7.73. Решите неравенство:

1) $3^x < \frac{1}{27}$

2) $2^x < \frac{1}{8}$

3) $\left(\frac{2}{5}\right)^{x+2} > \left(\frac{2}{5}\right)^{-1}$

4) $\left(\frac{1}{4}\right)^{x^2-x} < \frac{1}{16}$

5) $\left(\frac{1}{5}\right)^{3-x} < 25$

6) $\left(\frac{1}{3}\right)^{x+3} < 9$

1) Исходное неравенство: $3^x < \frac{1}{27}$.

Чтобы решить это показательное неравенство, приведем обе части к одному основанию. В данном случае это основание 3.

Правая часть: $\frac{1}{27} = \frac{1}{3^3} = 3^{-3}$.

Неравенство принимает вид: $3^x < 3^{-3}$.

Так как основание степени $a=3$ больше 1 ($3>1$), то показательная функция $y=3^t$ является возрастающей. Это означает, что большему значению функции соответствует большее значение аргумента. Поэтому, переходя от неравенства для степеней к неравенству для их показателей, мы сохраняем знак неравенства:

$x < -3$.

Ответ: $x \in (-\infty; -3)$.

2) Исходное неравенство: $2^x < \frac{1}{8}$.

Приведем обе части к основанию 2.

Правая часть: $\frac{1}{8} = \frac{1}{2^3} = 2^{-3}$.

Неравенство принимает вид: $2^x < 2^{-3}$.

Основание степени $a=2$ больше 1 ($2>1$), поэтому функция $y=2^t$ возрастающая. Знак неравенства для показателей сохраняется:

$x < -3$.

Ответ: $x \in (-\infty; -3)$.

3) Исходное неравенство: $(\frac{2}{5})^{x+2} > (\frac{2}{5})^{-1}$.

Обе части неравенства уже имеют одинаковое основание $a = \frac{2}{5}$.

Так как основание степени $a=\frac{2}{5}$ находится в интервале от 0 до 1 ($0 < \frac{2}{5} < 1$), то показательная функция $y=(\frac{2}{5})^t$ является убывающей. Это означает, что большему значению функции соответствует меньшее значение аргумента. Поэтому, переходя к неравенству для показателей, мы меняем знак неравенства на противоположный:

$x+2 < -1$.

Решаем полученное линейное неравенство:

$x < -1 - 2$

$x < -3$.

Ответ: $x \in (-\infty; -3)$.

4) Исходное неравенство: $(\frac{1}{4})^{x^2-x} < \frac{1}{16}$.

Приведем обе части к основанию $\frac{1}{4}$.

Правая часть: $\frac{1}{16} = (\frac{1}{4})^2$.

Неравенство принимает вид: $(\frac{1}{4})^{x^2-x} < (\frac{1}{4})^2$.

Основание степени $a=\frac{1}{4}$ находится в интервале от 0 до 1 ($0 < \frac{1}{4} < 1$), функция $y=(\frac{1}{4})^t$ убывающая. Меняем знак неравенства на противоположный:

$x^2-x > 2$.

Переносим все члены в левую часть для решения квадратного неравенства:

$x^2-x-2 > 0$.

Найдем корни соответствующего уравнения $x^2-x-2=0$. По теореме Виета, сумма корней равна 1, а произведение равно -2. Корни уравнения: $x_1=2$ и $x_2=-1$.

Графиком функции $y=x^2-x-2$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Значения функции положительны, когда аргумент $\text{x}$ находится вне интервала между корнями.

Таким образом, решение неравенства: $x < -1$ или $x > 2$.

Ответ: $x \in (-\infty; -1) \cup (2; +\infty)$.

5) Исходное неравенство: $(\frac{1}{5})^{3-x} < 25$.

Приведем обе части к основанию $\frac{1}{5}$.

Правая часть: $25 = 5^2 = ((\frac{1}{5})^{-1})^2 = (\frac{1}{5})^{-2}$.

Неравенство принимает вид: $(\frac{1}{5})^{3-x} < (\frac{1}{5})^{-2}$.

Основание степени $a=\frac{1}{5}$ находится в интервале от 0 до 1 ($0 < \frac{1}{5} < 1$), функция $y=(\frac{1}{5})^t$ убывающая. Меняем знак неравенства на противоположный:

$3-x > -2$.

Решаем линейное неравенство:

$-x > -2 - 3$

$-x > -5$

$x < 5$.

Ответ: $x \in (-\infty; 5)$.

6) Исходное неравенство: $(\frac{1}{3})^{x+3} < 9$.

Приведем обе части к основанию $\frac{1}{3}$.

Правая часть: $9 = 3^2 = ((\frac{1}{3})^{-1})^2 = (\frac{1}{3})^{-2}$.

Неравенство принимает вид: $(\frac{1}{3})^{x+3} < (\frac{1}{3})^{-2}$.

Основание степени $a=\frac{1}{3}$ находится в интервале от 0 до 1 ($0 < \frac{1}{3} < 1$), функция $y=(\frac{1}{3})^t$ убывающая. Меняем знак неравенства на противоположный:

$x+3 > -2$.

Решаем линейное неравенство:

$x > -2 - 3$

$x > -5$.

Ответ: $x \in (-5; +\infty)$.