Номер 7.72, страница 65, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

7.72. Решите простейшее логарифмическое неравенство, приведя обе его части к одному основанию:

1) $4^x < 256;$

2) $5^{-x+2} \geq 125;$

3) $3^{x+1} < 243;$

4) $3^{2x+1} > 3^{5x+4};$

5) $\sqrt{5^x} > \sqrt[3]{25};$

6) $\left(\frac{5}{7}\right)^{x-3} \le \left(\frac{7}{5}\right)^{2x+5};$

7) $(0,25)^{2-x} > \frac{256}{2^{x+3}}.$

1) Дано неравенство $4^x < 256$. Приведем обе части к основанию 4. Число 256 можно представить как $4^4$. Таким образом, неравенство принимает вид $4^x < 4^4$. Поскольку основание степени $4 > 1$, показательная функция является возрастающей, и при переходе к неравенству для показателей степеней знак неравенства сохраняется. Получаем $x < 4$.

Ответ: $x \in (-\infty; 4)$.

2) Дано неравенство $5^{-x+2} \geq 125$. Приведем обе части к основанию 5. Число 125 это $5^3$. Неравенство становится $5^{-x+2} \geq 5^3$. Основание $5 > 1$, поэтому функция возрастающая, и знак неравенства для показателей сохраняется: $-x+2 \geq 3$. Решим это линейное неравенство: $-x \geq 3-2$, $-x \geq 1$, что эквивалентно $x \leq -1$.

Ответ: $x \in (-\infty; -1]$.

3) Дано неравенство $3^{x+1} < 243$. Приведем обе части к основанию 3. Число 243 это $3^5$. Неравенство принимает вид $3^{x+1} < 3^5$. Так как основание $3 > 1$, функция возрастающая, и знак неравенства сохраняется: $x+1 < 5$. Отсюда $x < 5-1$, то есть $x < 4$.

Ответ: $x \in (-\infty; 4)$.

4) Дано неравенство $3^{2x+1} > 3^{5x+4}$. Обе части уже имеют одинаковое основание 3. Так как основание $3 > 1$, показательная функция возрастающая. Следовательно, мы можем сравнить показатели, сохранив знак неравенства: $2x+1 > 5x+4$. Решаем неравенство: $1-4 > 5x-2x$, $-3 > 3x$, $-1 > x$, или $x < -1$.

Ответ: $x \in (-\infty; -1)$.

5) Дано неравенство $\sqrt{5^x} > \sqrt[3]{25}$. Приведем обе части к основанию 5. Левая часть: $\sqrt{5^x} = (5^x)^{1/2} = 5^{x/2}$. Правая часть: $\sqrt[3]{25} = \sqrt[3]{5^2} = 5^{2/3}$. Неравенство принимает вид $5^{x/2} > 5^{2/3}$. Основание $5 > 1$, поэтому функция возрастающая и знак неравенства сохраняется: $x/2 > 2/3$. Умножив обе части на 6, получаем $3x > 4$, откуда $x > 4/3$.

Ответ: $x \in (\frac{4}{3}; +\infty)$.

6) Дано неравенство $(\frac{5}{7})^{x-3} \leq (\frac{7}{5})^{2x+5}$. Приведем обе части к одному основанию, например $\frac{5}{7}$. Заметим, что $\frac{7}{5} = (\frac{5}{7})^{-1}$. Тогда правая часть равна $((\frac{5}{7})^{-1})^{2x+5} = (\frac{5}{7})^{-2x-5}$. Неравенство становится $(\frac{5}{7})^{x-3} \leq (\frac{5}{7})^{-2x-5}$. Поскольку основание $0 < \frac{5}{7} < 1$, показательная функция является убывающей. Поэтому при переходе к неравенству для показателей знак неравенства меняется на противоположный: $x-3 \geq -2x-5$. Решаем полученное неравенство: $x+2x \geq -5+3$, $3x \geq -2$, $x \geq -2/3$.

Ответ: $x \in [-\frac{2}{3}; +\infty)$.

7) Дано неравенство $(0,25)^{2-x} > \frac{256}{2^{x+3}}$. Приведем все к основанию 2. Левая часть: $0,25 = \frac{1}{4} = 2^{-2}$, поэтому $(0,25)^{2-x} = (2^{-2})^{2-x} = 2^{-4+2x} = 2^{2x-4}$. Правая часть: $256 = 2^8$, поэтому $\frac{256}{2^{x+3}} = \frac{2^8}{2^{x+3}} = 2^{8-(x+3)} = 2^{5-x}$. Неравенство принимает вид $2^{2x-4} > 2^{5-x}$. Основание $2 > 1$, функция возрастающая, знак неравенства сохраняется: $2x-4 > 5-x$. Решаем неравенство: $2x+x > 5+4$, $3x > 9$, $x > 3$.

Ответ: $x \in (3; +\infty)$.