Номер 7.78, страница 66, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

7.78. Решите неравенство методом введения новой переменной:

1) $6^{2x} - 6^{x+1} + 5 > 0;$

2) $3 \cdot 2^x + 18 \cdot 2^{-x} < 29;$

3) $9^x - 6 \cdot 3^x < 27;$

4) $5^{2\sqrt{x}} + 5 < 5^{\sqrt{x}+1} + 5^{\sqrt{x}}.$

1) $6^{2x} - 6^{x+1} + 5 > 0$

Преобразуем исходное неравенство, используя свойства степеней:

$(6^x)^2 - 6^x \cdot 6^1 + 5 > 0$

$(6^x)^2 - 6 \cdot 6^x + 5 > 0$

Введем новую переменную. Пусть $t = 6^x$. Так как показательная функция принимает только положительные значения, то $t > 0$.

Неравенство примет вид квадратного неравенства относительно $\text{t}$:

$t^2 - 6t + 5 > 0$

Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $t^2 - 6t + 5 = 0$.

По теореме Виета, корни уравнения: $t_1 = 1$, $t_2 = 5$.

Парабола $y = t^2 - 6t + 5$ имеет ветви, направленные вверх. Следовательно, выражение $t^2 - 6t + 5$ положительно при значениях $\text{t}$, находящихся за пределами корней:

$t < 1$ или $t > 5$.

Учтем условие $t > 0$. Получаем совокупность двух систем:

1) $0 < t < 1$

2) $t > 5$

Вернемся к исходной переменной $\text{x}$:

1) $0 < 6^x < 1$. Так как $1 = 6^0$, неравенство принимает вид $6^x < 6^0$. Поскольку основание $6 > 1$, показательная функция является возрастающей, поэтому можно перейти к неравенству для показателей: $x < 0$.

2) $6^x > 5$. Прологарифмируем обе части по основанию 6. Так как основание $6 > 1$, знак неравенства сохраняется: $x > \log_6 5$.

Объединяя полученные решения, получаем итоговый ответ.

Ответ: $x \in (-\infty; 0) \cup (\log_6 5; +\infty)$.

2) $3 \cdot 2^x + 18 \cdot 2^{-x} < 29$

Преобразуем неравенство, используя свойство $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$:

$3 \cdot 2^x + \frac{18}{2^x} < 29$

Введем новую переменную. Пусть $t = 2^x$. Условие: $t > 0$.

Неравенство примет вид:

$3t + \frac{18}{t} < 29$

Поскольку $t > 0$, мы можем умножить обе части неравенства на $\text{t}$, не меняя знака неравенства:

$3t^2 + 18 < 29t$

$3t^2 - 29t + 18 < 0$

Найдем корни квадратного уравнения $3t^2 - 29t + 18 = 0$.

Дискриминант $D = (-29)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 18 = 841 - 216 = 625 = 25^2$.

Корни: $t_{1,2} = \frac{29 \pm 25}{2 \cdot 3}$.

$t_1 = \frac{29 - 25}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$.

$t_2 = \frac{29 + 25}{6} = \frac{54}{6} = 9$.

Парабола $y = 3t^2 - 29t + 18$ имеет ветви, направленные вверх. Следовательно, выражение отрицательно между корнями: $\frac{2}{3} < t < 9$.

Это решение удовлетворяет условию $t > 0$.

Вернемся к переменной $\text{x}$:

$\frac{2}{3} < 2^x < 9$

Прологарифмируем двойное неравенство по основанию 2. Так как основание $2 > 1$, знаки неравенства сохраняются:

$\log_2(\frac{2}{3}) < x < \log_2 9$

Ответ: $x \in (\log_2(\frac{2}{3}); \log_2 9)$.

3) $9^x - 6 \cdot 3^x < 27$

Представим $9^x$ как $(3^2)^x = (3^x)^2$ и перенесем все члены в левую часть:

$(3^x)^2 - 6 \cdot 3^x - 27 < 0$

Введем новую переменную. Пусть $t = 3^x$, где $t > 0$.

Неравенство примет вид:

$t^2 - 6t - 27 < 0$

Найдем корни уравнения $t^2 - 6t - 27 = 0$.

По теореме Виета, корни: $t_1 = -3$, $t_2 = 9$.

Ветви параболы $y = t^2 - 6t - 27$ направлены вверх, поэтому неравенство выполняется между корнями: $-3 < t < 9$.

Учитывая условие $t > 0$, получаем $0 < t < 9$.

Вернемся к переменной $\text{x}$:

$0 < 3^x < 9$

Неравенство $3^x > 0$ выполняется для любых $\text{x}$. Решим неравенство $3^x < 9$:

$3^x < 3^2$

Так как основание $3 > 1$, функция возрастающая, поэтому $x < 2$.

Ответ: $x \in (-\infty; 2)$.

4) $5^{2\sqrt{x}} + 5 < 5^{\sqrt{x}+1} + 5^{\sqrt{x}}$

Определим область допустимых значений (ОДЗ): подкоренное выражение должно быть неотрицательным, $x \ge 0$.

Преобразуем неравенство:

$(5^{\sqrt{x}})^2 + 5 < 5^1 \cdot 5^{\sqrt{x}} + 5^{\sqrt{x}}$

$(5^{\sqrt{x}})^2 - 5 \cdot 5^{\sqrt{x}} - 5^{\sqrt{x}} + 5 < 0$

$(5^{\sqrt{x}})^2 - 6 \cdot 5^{\sqrt{x}} + 5 < 0$

Введем новую переменную. Пусть $t = 5^{\sqrt{x}}$. Из ОДЗ $x \ge 0$ следует $\sqrt{x} \ge 0$, поэтому $t = 5^{\sqrt{x}} \ge 5^0 = 1$. Итак, условие для новой переменной: $t \ge 1$.

Неравенство примет вид:

$t^2 - 6t + 5 < 0$

Корни уравнения $t^2 - 6t + 5 = 0$ равны $t_1 = 1$, $t_2 = 5$.

Так как ветви параболы направлены вверх, неравенство выполняется при $1 < t < 5$.

Учитывая условие $t \ge 1$, полученный интервал $1 < t < 5$ полностью ему удовлетворяет.

Вернемся к переменной $\text{x}$:

$1 < 5^{\sqrt{x}} < 5$

Представим 1 и 5 в виде степеней с основанием 5:

$5^0 < 5^{\sqrt{x}} < 5^1$

Так как основание $5 > 1$, функция возрастающая. Переходим к неравенству для показателей:

$0 < \sqrt{x} < 1$

Все части этого двойного неравенства неотрицательны, поэтому мы можем возвести их в квадрат:

$0^2 < (\sqrt{x})^2 < 1^2$

$0 < x < 1$

Полученное решение $x \in (0; 1)$ удовлетворяет ОДЗ ($x \ge 0$).

Ответ: $x \in (0; 1)$.