Номер 7.75, страница 65, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

Практическая работа

7.75. В 2014 г. количество сайгаков в нашей стране оценивалось в 257 тыс. особей, в 2015 г. их количество увеличилось до 295 тыс. Но в этом же году вследствие инфекционной болезни (пастереллез) численность сайгаков резко сократилась (только в Бетпакдалинской популяции погибло 130 тыс. сайгаков). Согласно ежегодной переписи в 2016 г. их общее количество составило 108300 особей. С помощью логарифмической и показательной функций определите, в каком году численность сайгаков в нашей стране при благоприятных условиях превысит показатель 2015 г.

Для решения задачи воспользуемся моделью экспоненциального роста, которая описывается показательной функцией $N(t) = N_0 \cdot e^{kt}$, где $N(t)$ — численность популяции в момент времени $\text{t}$, $N_0$ — начальная численность, $\text{k}$ — постоянный коэффициент роста, а $\text{t}$ — время в годах.

Решение:

Сначала определим коэффициент годового прироста $\text{k}$, используя данные о росте популяции в благоприятных условиях с 2014 по 2015 год. Примем за $t=0$ 2014 год, тогда начальная численность $N_0 = 257000$ особей. Через год, в 2015 году ($t=1$), численность составила $N(1) = 295000$ особей. Подставим эти данные в формулу:

$295000 = 257000 \cdot e^{k \cdot 1}$

Отсюда найдем $e^k$: $e^k = \frac{295000}{257000} = \frac{295}{257}$.

Чтобы выразить $\text{k}$, воспользуемся логарифмической функцией, взяв натуральный логарифм от обеих частей уравнения: $k = \ln\left(\frac{295}{257}\right)$.

Это значение коэффициента роста соответствует "благоприятным условиям". Теперь нам нужно определить, через сколько лет, начиная с 2016 года, численность превысит уровень 2015 года (295000 особей). За новую начальную точку отсчета возьмем 2016 год. В этом году численность составляла $N_0' = 108300$ особей. Мы ищем время $\text{t}$, через которое популяция $N(t)$ станет больше 295000. Составим и решим неравенство:

$N_0' \cdot e^{kt} > 295000$

$108300 \cdot e^{kt} > 295000$

Выразим $e^{kt}$: $e^{kt} > \frac{295000}{108300} = \frac{29500}{1083}$

Чтобы найти $\text{t}$, снова применим логарифмирование: $\ln(e^{kt}) > \ln\left(\frac{29500}{1083}\right)$

$kt > \ln\left(\frac{29500}{1083}\right)$

Теперь выразим $\text{t}$ и подставим ранее найденное выражение для $\text{k}$: $t > \frac{\ln\left(\frac{29500}{1083}\right)}{k} = \frac{\ln\left(\frac{29500}{1083}\right)}{\ln\left(\frac{295}{257}\right)}$

Рассчитаем численное значение $\text{t}$: $t > \frac{\ln(27.239...)}{\ln(1.1478...)} \approx \frac{1.0020}{0.1379} \approx 7.267$

Таким образом, для превышения показателя 2015 года должно пройти более 7.267 лет, считая с начала 2016 года. Это означает, что искомое событие произойдет на протяжении 8-го года. Следовательно, искомый год будет: $2016 + 8 = 2024$.

Ответ: При благоприятных условиях численность сайгаков в нашей стране превысит показатель 2015 года в 2024 году.