Номер 7.74, страница 65, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

7.74. Найдите наибольшее целое значение х, удовлетворяющее неравенству:

1) $5^{x-1} < 25;$

2) $3^{3-x} \ge 9;$

3) $6^{2x} \le \frac{1}{36};$

4) $(\frac{1}{2})^{2x-2} \ge 4;$

5) $(\frac{1}{3})^{5-3x} < 81;$

6) $(\frac{1}{2})^{2x-3} > (\frac{1}{2})^2.$

1) $5^{x-1} < 25$

Чтобы решить показательное неравенство, приведем обе части к одному основанию. В данном случае это 5.

$25 = 5^2$

Неравенство принимает вид:

$5^{x-1} < 5^2$

Так как основание степени $5 > 1$, то при переходе к неравенству для показателей знак неравенства сохраняется:

$x - 1 < 2$

$x < 2 + 1$

$x < 3$

Целые значения $\text{x}$, удовлетворяющие этому неравенству, это $...-1, 0, 1, 2$. Наибольшее целое значение равно 2.

Ответ: 2

2) $3^{3-x} \ge 9$

Приведем обе части неравенства к основанию 3.

$9 = 3^2$

Получаем неравенство:

$3^{3-x} \ge 3^2$

Так как основание $3 > 1$, знак неравенства для показателей сохраняется:

$3 - x \ge 2$

$-x \ge 2 - 3$

$-x \ge -1$

Умножим обе части на -1 и изменим знак неравенства на противоположный:

$x \le 1$

Целые значения $\text{x}$, удовлетворяющие этому неравенству, это $...-1, 0, 1$. Наибольшее целое значение равно 1.

Ответ: 1

3) $6^{2x} \le \frac{1}{36}$

Приведем обе части неравенства к основанию 6.

$\frac{1}{36} = \frac{1}{6^2} = 6^{-2}$

Неравенство принимает вид:

$6^{2x} \le 6^{-2}$

Основание $6 > 1$, поэтому знак неравенства для показателей сохраняется:

$2x \le -2$

$x \le -1$

Целые значения $\text{x}$, удовлетворяющие этому неравенству, это $...-3, -2, -1$. Наибольшее целое значение равно -1.

Ответ: -1

4) $(\frac{1}{2})^{2x-2} \ge 4$

Приведем обе части к одному основанию. Удобно использовать основание 2.

$(\frac{1}{2})^{2x-2} = (2^{-1})^{2x-2} = 2^{-2x+2}$

$4 = 2^2$

Неравенство принимает вид:

$2^{-2x+2} \ge 2^2$

Основание $2 > 1$, поэтому знак неравенства для показателей сохраняется:

$-2x+2 \ge 2$

$-2x \ge 0$

$x \le 0$

Целые значения $\text{x}$, удовлетворяющие этому неравенству, это $...-2, -1, 0$. Наибольшее целое значение равно 0.

Ответ: 0

5) $(\frac{1}{3})^{5-3x} < 81$

Приведем обе части к основанию 3.

$(\frac{1}{3})^{5-3x} = (3^{-1})^{5-3x} = 3^{-5+3x}$

$81 = 3^4$

Неравенство принимает вид:

$3^{3x-5} < 3^4$

Основание $3 > 1$, поэтому знак неравенства для показателей сохраняется:

$3x - 5 < 4$

$3x < 9$

$x < 3$

Целые значения $\text{x}$, удовлетворяющие этому неравенству, это $..., 0, 1, 2$. Наибольшее целое значение равно 2.

Ответ: 2

6) $(\frac{1}{2})^{2x-3} > (\frac{1}{2})^2$

Обе части неравенства уже имеют одинаковое основание $\frac{1}{2}$.

Так как основание $0 < \frac{1}{2} < 1$, то при переходе к неравенству для показателей знак неравенства меняется на противоположный:

$2x - 3 < 2$

$2x < 5$

$x < \frac{5}{2}$

$x < 2.5$

Целые значения $\text{x}$, удовлетворяющие этому неравенству, это $..., 0, 1, 2$. Наибольшее целое значение равно 2.

Ответ: 2