Номер 7.77, страница 66, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

7.77. Решите неравенство методом разложения на множители:

1) $(\frac{2}{3})^x + (\frac{2}{3})^{x-1} > 2,5;$

2) $2^{2x-1} + 2^{2x-2} + 2^{2x-3} < 448;$

3) $(\frac{4}{3})^{x+1} - (\frac{4}{3})^x > \frac{3}{16};$

4) $3^{x-2} + 3^{x-1} < 28.$

1) Исходное неравенство: $(\frac{2}{3})^x + (\frac{2}{3})^{x-1} > 2.5$.

Для решения методом разложения на множители вынесем за скобки степень с наименьшим показателем, то есть $(\frac{2}{3})^{x-1}$.

Для этого представим $(\frac{2}{3})^x$ как $(\frac{2}{3})^{x-1} \cdot (\frac{2}{3})^1$.

$(\frac{2}{3})^{x-1} \cdot \frac{2}{3} + (\frac{2}{3})^{x-1} > 2.5$

Выносим общий множитель:

$(\frac{2}{3})^{x-1} \cdot (\frac{2}{3} + 1) > 2.5$

Упрощаем выражение в скобках и переводим десятичную дробь в обыкновенную ($2.5 = \frac{5}{2}$):

$(\frac{2}{3})^{x-1} \cdot (\frac{2}{3} + \frac{3}{3}) > \frac{5}{2}$

$(\frac{2}{3})^{x-1} \cdot \frac{5}{3} > \frac{5}{2}$

Чтобы выделить показательное выражение, умножим обе части неравенства на $\frac{3}{5}$:

$(\frac{2}{3})^{x-1} > \frac{5}{2} \cdot \frac{3}{5}$

$(\frac{2}{3})^{x-1} > \frac{3}{2}$

Приведем обе части к одному основанию. Заметим, что $\frac{3}{2} = (\frac{2}{3})^{-1}$.

$(\frac{2}{3})^{x-1} > (\frac{2}{3})^{-1}$

Так как основание степени $a = \frac{2}{3}$ находится в интервале $0 < a < 1$, показательная функция является убывающей. Это значит, что при переходе от степеней к показателям, знак неравенства меняется на противоположный.

$x - 1 < -1$

$x < 0$

Ответ: $(-\infty; 0)$.

2) Исходное неравенство: $2^{2x-1} + 2^{2x-2} + 2^{2x-3} < 448$.

Вынесем за скобки степень с наименьшим показателем, то есть $2^{2x-3}$.

Представим остальные слагаемые через этот множитель: $2^{2x-1} = 2^{2x-3} \cdot 2^2$ и $2^{2x-2} = 2^{2x-3} \cdot 2^1$.

$2^{2x-3} \cdot 2^2 + 2^{2x-3} \cdot 2^1 + 2^{2x-3} < 448$

Выносим общий множитель $2^{2x-3}$:

$2^{2x-3} (2^2 + 2^1 + 1) < 448$

Упрощаем выражение в скобках:

$2^{2x-3} (4 + 2 + 1) < 448$

$2^{2x-3} \cdot 7 < 448$

Разделим обе части неравенства на 7:

$2^{2x-3} < \frac{448}{7}$

$2^{2x-3} < 64$

Приведем обе части к одному основанию 2. Заметим, что $64 = 2^6$.

$2^{2x-3} < 2^6$

Так как основание степени $a = 2$ больше 1, показательная функция является возрастающей. Это значит, что при переходе от степеней к показателям, знак неравенства сохраняется.

$2x - 3 < 6$

$2x < 9$

$x < \frac{9}{2}$

Ответ: $(-\infty; \frac{9}{2})$.

3) Исходное неравенство: $(\frac{4}{3})^{x+1} - (\frac{4}{3})^x > \frac{3}{16}$.

Вынесем за скобки степень с наименьшим показателем, то есть $(\frac{4}{3})^x$.

Представим $(\frac{4}{3})^{x+1}$ как $(\frac{4}{3})^x \cdot (\frac{4}{3})^1$.

$(\frac{4}{3})^x \cdot \frac{4}{3} - (\frac{4}{3})^x > \frac{3}{16}$

Выносим общий множитель:

$(\frac{4}{3})^x (\frac{4}{3} - 1) > \frac{3}{16}$

Упрощаем выражение в скобках:

$(\frac{4}{3})^x (\frac{4}{3} - \frac{3}{3}) > \frac{3}{16}$

$(\frac{4}{3})^x \cdot \frac{1}{3} > \frac{3}{16}$

Умножим обе части неравенства на 3:

$(\frac{4}{3})^x > \frac{3}{16} \cdot 3$

$(\frac{4}{3})^x > \frac{9}{16}$

Приведем правую часть к основанию $\frac{4}{3}$. Заметим, что $\frac{9}{16} = (\frac{3}{4})^2 = ((\frac{4}{3})^{-1})^2 = (\frac{4}{3})^{-2}$.

$(\frac{4}{3})^x > (\frac{4}{3})^{-2}$

Так как основание степени $a = \frac{4}{3}$ больше 1, показательная функция является возрастающей, поэтому знак неравенства сохраняется.

$x > -2$

Ответ: $(-2; +\infty)$.

4) Исходное неравенство: $3^{x-2} + 3^{x-1} < 28$.

Вынесем за скобки степень с наименьшим показателем, то есть $3^{x-2}$.

Представим $3^{x-1}$ как $3^{x-2} \cdot 3^1$.

$3^{x-2} + 3^{x-2} \cdot 3 < 28$

Выносим общий множитель:

$3^{x-2} (1 + 3) < 28$

$3^{x-2} \cdot 4 < 28$

Разделим обе части неравенства на 4:

$3^{x-2} < 7$

Чтобы решить это неравенство, прологарифмируем обе части по основанию 3. Так как основание логарифма $a=3$ больше 1, знак неравенства сохраняется.

$\log_3(3^{x-2}) < \log_3(7)$

$x-2 < \log_3(7)$

$x < 2 + \log_3(7)$

Ответ: $(-\infty; 2 + \log_3(7))$.