Номер 7.85, страница 68, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

7.85. Решите показательное неравенство методом введения новой переменной::

1) $36^x - 2 \cdot 18^x - 8 \cdot 9^x > 0;$

2) $4^{x+1.5} + 9^x < 9^{x+1};$

3) $2^{2x+2} + 6^x - 2 \cdot 3^{2x+2} > 0.$

1)

Дано неравенство $36^x - 2 \cdot 18^x - 8 \cdot 9^x > 0$.

Это однородное показательное неравенство. Чтобы привести его к квадратному, разделим все члены неравенства на $9^x$. Так как $9^x > 0$ для любого $\text{x}$, знак неравенства не изменится.

$\frac{36^x}{9^x} - 2 \cdot \frac{18^x}{9^x} - 8 \cdot \frac{9^x}{9^x} > 0$

$(\frac{36}{9})^x - 2 \cdot (\frac{18}{9})^x - 8 > 0$

$4^x - 2 \cdot 2^x - 8 > 0$

Представим $4^x$ как $(2^x)^2$:

$(2^x)^2 - 2 \cdot 2^x - 8 > 0$

Введем новую переменную. Пусть $t = 2^x$. Так как показательная функция всегда положительна, то $t > 0$.

Подставим $\text{t}$ в неравенство:

$t^2 - 2t - 8 > 0$

Найдем корни квадратного трехчлена $t^2 - 2t - 8 = 0$. Используя дискриминант или теорему Виета, получаем:

$D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36$

$t_1 = \frac{2 - \sqrt{36}}{2} = \frac{2 - 6}{2} = -2$

$t_2 = \frac{2 + \sqrt{36}}{2} = \frac{2 + 6}{2} = 4$

Неравенство $(t - 4)(t + 2) > 0$ выполняется при $t < -2$ или $t > 4$.

Вернемся к переменной $\text{x}$, учитывая условие $t > 0$.

1. $t < -2 \Rightarrow 2^x < -2$. Это неравенство не имеет решений, так как $2^x$ всегда положительно.

2. $t > 4 \Rightarrow 2^x > 4$.

Решим неравенство $2^x > 4$:

$2^x > 2^2$

Так как основание степени $2 > 1$, то при переходе к неравенству для показателей знак неравенства сохраняется:

$x > 2$

Ответ: $(2, +\infty)$.

2)

Дано неравенство $4^{x+1.5} + 9^x < 9^{x+1}$.

Используя свойство степени $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$, преобразуем неравенство:

$4^x \cdot 4^{1.5} + 9^x < 9^x \cdot 9^1$

Вычислим значение $4^{1.5} = 4^{3/2} = (\sqrt{4})^3 = 2^3 = 8$.

$8 \cdot 4^x + 9^x < 9 \cdot 9^x$

Сгруппируем слагаемые с одинаковыми основаниями:

$8 \cdot 4^x < 9 \cdot 9^x - 9^x$

$8 \cdot 4^x < (9 - 1) \cdot 9^x$

$8 \cdot 4^x < 8 \cdot 9^x$

Разделим обе части на 8 (положительное число), знак неравенства не изменится:

$4^x < 9^x$

Разделим обе части неравенства на $9^x$. Так как $9^x > 0$, знак неравенства не изменится.

$\frac{4^x}{9^x} < 1$

$(\frac{4}{9})^x < 1$

Представим 1 в виде степени с основанием $\frac{4}{9}$:

$(\frac{4}{9})^x < (\frac{4}{9})^0$

Так как основание степени $0 < \frac{4}{9} < 1$, показательная функция является убывающей. Поэтому при переходе к неравенству для показателей знак неравенства меняется на противоположный:

$x > 0$

Ответ: $(0, +\infty)$.

3)

Дано неравенство $2^{2x+2} + 6^x - 2 \cdot 3^{2x+2} > 0$.

Используя свойства степеней, преобразуем слагаемые:

$2^{2x+2} = 2^{2x} \cdot 2^2 = (2^2)^x \cdot 4 = 4 \cdot 4^x$

$6^x = (2 \cdot 3)^x = 2^x \cdot 3^x$

$3^{2x+2} = 3^{2x} \cdot 3^2 = (3^2)^x \cdot 9 = 9 \cdot 9^x$

Подставим эти выражения в исходное неравенство:

$4 \cdot 4^x + 2^x \cdot 3^x - 2 \cdot (9 \cdot 9^x) > 0$

$4 \cdot 4^x + 2^x \cdot 3^x - 18 \cdot 9^x > 0$

Это однородное показательное неравенство. Разделим обе части на $9^x > 0$:

$4 \cdot \frac{4^x}{9^x} + \frac{2^x \cdot 3^x}{9^x} - 18 \cdot \frac{9^x}{9^x} > 0$

$4 \cdot (\frac{4}{9})^x + (\frac{2}{3})^x - 18 > 0$

$4 \cdot ((\frac{2}{3})^x)^2 + (\frac{2}{3})^x - 18 > 0$

Введем новую переменную. Пусть $t = (\frac{2}{3})^x$. Так как $\text{t}$ — значение показательной функции, $t > 0$.

Неравенство принимает вид:

$4t^2 + t - 18 > 0$

Найдем корни квадратного уравнения $4t^2 + t - 18 = 0$:

$D = 1^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-18) = 1 + 288 = 289 = 17^2$

$t_1 = \frac{-1 - 17}{2 \cdot 4} = \frac{-18}{8} = -\frac{9}{4}$

$t_2 = \frac{-1 + 17}{2 \cdot 4} = \frac{16}{8} = 2$

Неравенство $4(t - 2)(t + \frac{9}{4}) > 0$ выполняется при $t < -\frac{9}{4}$ или $t > 2$.

Возвращаемся к переменной $\text{x}$ с учетом условия $t > 0$.

1. $t < -\frac{9}{4} \Rightarrow (\frac{2}{3})^x < -\frac{9}{4}$. Решений нет, так как $(\frac{2}{3})^x > 0$.

2. $t > 2 \Rightarrow (\frac{2}{3})^x > 2$.

Решим неравенство $(\frac{2}{3})^x > 2$. Так как основание степени $0 < \frac{2}{3} < 1$, показательная функция является убывающей. При логарифмировании по этому основанию знак неравенства меняется на противоположный:

$\log_{2/3}((\frac{2}{3})^x) < \log_{2/3}(2)$

$x < \log_{2/3}(2)$

Ответ: $(-\infty, \log_{2/3}(2))$.