Номер 7.91, страница 68, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

7.91*. Решите неравенство:

1) $(x+1)^{x^2-36} < 1;$

2) $(x-3)^{x^2-9} > 1;$

3) $(x-2)^{x^2-1} > 1;$

4) $(x-1)^{\frac{2x-7}{x-1}} \ge 1.$

1)

Решим показательно-степенное неравенство $(x+1)^{x^2-36} < 1$.

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условием положительности основания: $x+1 > 0$, откуда $x > -1$.

Неравенство вида $a^{f(x)} < 1$ равносильно совокупности двух систем:

Первая система (основание больше 1, а показатель степени отрицателен):

$\begin{cases} x+1 > 1 \\ x^2 - 36 < 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > 0 \\ (x-6)(x+6) < 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > 0 \\ -6 < x < 6 \end{cases}$

Решением этой системы является интервал $(0, 6)$.

Вторая система (основание принадлежит интервалу от 0 до 1, а показатель степени положителен):

$\begin{cases} 0 < x+1 < 1 \\ x^2 - 36 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} -1 < x < 0 \\ (x-6)(x+6) > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} -1 < x < 0 \\ x \in (-\infty, -6) \cup (6, \infty) \end{cases}$

Эта система не имеет решений, так как интервал $(-1, 0)$ не пересекается с множеством $(-\infty, -6) \cup (6, \infty)$.

Объединяя решения, полученные в двух случаях, получаем итоговый ответ.

Ответ: $(0, 6)$.

2)

Решим показательно-степенное неравенство $(x-3)^{x^2-9} > 1$.

ОДЗ: $x-3 > 0$, откуда $x > 3$.

Неравенство вида $a^{f(x)} > 1$ равносильно совокупности двух систем:

Первая система (основание больше 1, а показатель степени положителен):

$\begin{cases} x-3 > 1 \\ x^2 - 9 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > 4 \\ (x-3)(x+3) > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > 4 \\ x \in (-\infty, -3) \cup (3, \infty) \end{cases}$

Решением этой системы является интервал $(4, \infty)$.

Вторая система (основание принадлежит интервалу от 0 до 1, а показатель степени отрицателен):

$\begin{cases} 0 < x-3 < 1 \\ x^2 - 9 < 0 \end{cases} \implies \begin{cases} 3 < x < 4 \\ (x-3)(x+3) < 0 \end{cases} \implies \begin{cases} 3 < x < 4 \\ -3 < x < 3 \end{cases}$

Эта система не имеет решений.

Итоговым решением является решение из первой системы.

Ответ: $(4, \infty)$.

3)

Решим показательно-степенное неравенство $(x-2)^{x^2-1} > 1$.

ОДЗ: $x-2 > 0$, откуда $x > 2$.

Неравенство равносильно совокупности двух систем:

Первая система (основание больше 1, а показатель степени положителен):

$\begin{cases} x-2 > 1 \\ x^2 - 1 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > 3 \\ (x-1)(x+1) > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > 3 \\ x \in (-\infty, -1) \cup (1, \infty) \end{cases}$

Решением этой системы является интервал $(3, \infty)$.

Вторая система (основание принадлежит интервалу от 0 до 1, а показатель степени отрицателен):

$\begin{cases} 0 < x-2 < 1 \\ x^2 - 1 < 0 \end{cases} \implies \begin{cases} 2 < x < 3 \\ (x-1)(x+1) < 0 \end{cases} \implies \begin{cases} 2 < x < 3 \\ -1 < x < 1 \end{cases}$

Эта система не имеет решений.

Итоговым решением является решение из первой системы.

Ответ: $(3, \infty)$.

4)

Решим показательно-степенное неравенство $(x-1)^{\frac{2x-7}{x-1}} \ge 1$.

ОДЗ: $x-1 > 0 \implies x > 1$.

Данное неравенство равносильно совокупности строгого неравенства и уравнения.

1. Сначала решим строгое неравенство $(x-1)^{\frac{2x-7}{x-1}} > 1$. Оно равносильно совокупности двух систем:

а) Основание больше 1, показатель положителен:

$\begin{cases} x-1 > 1 \\ \frac{2x-7}{x-1} > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > 2 \\ 2x-7 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > 2 \\ x > 3.5 \end{cases} \implies x > 3.5$.

Мы учли, что при $x>2$ знаменатель $x-1$ положителен.

б) Основание от 0 до 1, показатель отрицателен:

$\begin{cases} 0 < x-1 < 1 \\ \frac{2x-7}{x-1} < 0 \end{cases} \implies \begin{cases} 1 < x < 2 \\ 2x-7 < 0 \end{cases} \implies \begin{cases} 1 < x < 2 \\ x < 3.5 \end{cases} \implies 1 < x < 2$.

Мы учли, что при $1 < x < 2$ знаменатель $x-1$ также положителен.

Таким образом, решение строгого неравенства: $x \in (1, 2) \cup (3.5, \infty)$.

2. Теперь решим уравнение $(x-1)^{\frac{2x-7}{x-1}} = 1$. Равенство достигается в двух случаях (с учетом ОДЗ):

а) Основание равно 1:

$x-1=1 \implies x=2$. При $x=2$ показатель степени $\frac{2(2)-7}{2-1} = -3$ определен. Значит, $x=2$ является решением.

б) Показатель равен 0 (при основании, не равном 0):

$\frac{2x-7}{x-1}=0 \implies 2x-7=0 \implies x=3.5$. При $x=3.5$ основание $x-1=2.5 \neq 0$. Значит, $x=3.5$ является решением.

3. Объединим решения. Решение исходного неравенства — это объединение решений строгого неравенства и уравнения:

$((1, 2) \cup (3.5, \infty)) \cup \{2, 3.5\} = (1, 2] \cup [3.5, \infty)$.

Ответ: $(1, 2] \cup [3.5, \infty)$.