Номер 7.89, страница 68, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

7.89. Найдите наименьшее целое значение x, удовлетворяющее неравенству:

1) $7^{2x-1} - 7^{x+1} \le 7^{x-1} - 7;$

2) $3^{2x+2} - 3^{x+4} < 3^x - 9;$

3) $2^{2x+1} - 2^{x+3} \le 2^{x+1} - 8;$

4) $5^{2x} - 5^{x+2} > 5^x - 25.$

1) $7^{2x-1} - 7^{x+1} \leq 7^{x-1} - 7$

Преобразуем неравенство, используя свойства степеней $a^{m-n} = a^m/a^n$ и $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$:

$\frac{7^{2x}}{7} - 7^x \cdot 7^1 \leq \frac{7^x}{7} - 7$

Введем замену переменной. Пусть $y = 7^x$. Так как показательная функция всегда положительна, то $y > 0$.

$\frac{y^2}{7} - 7y \leq \frac{y}{7} - 7$

Умножим обе части неравенства на 7, чтобы избавиться от знаменателей:

$y^2 - 49y \leq y - 49$

Перенесем все члены в левую часть и приведем подобные слагаемые:

$y^2 - 49y - y + 49 \leq 0$

$y^2 - 50y + 49 \leq 0$

Для решения квадратного неравенства найдем корни соответствующего уравнения $y^2 - 50y + 49 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна 50, а их произведение 49. Легко видеть, что корни $y_1 = 1$ и $y_2 = 49$.

Графиком функции $f(y) = y^2 - 50y + 49$ является парабола с ветвями, направленными вверх. Неравенство $f(y) \leq 0$ выполняется на отрезке между корнями, включая сами корни.

$1 \leq y \leq 49$

Выполним обратную замену:

$1 \leq 7^x \leq 49$

Представим числа 1 и 49 в виде степеней с основанием 7:

$7^0 \leq 7^x \leq 7^2$

Так как основание степени $7 > 1$, показательная функция является возрастающей. Поэтому при переходе к неравенству для показателей знаки неравенства сохраняются:

$0 \leq x \leq 2$

Целые значения $\text{x}$ на этом отрезке: 0, 1, 2. Наименьшее из них равно 0.

Ответ: 0.

2) $3^{2x+2} - 3^{x+4} < 3^x - 9$

Преобразуем неравенство, используя свойства степеней:

$3^{2x} \cdot 3^2 - 3^x \cdot 3^4 < 3^x - 9$

$9 \cdot (3^x)^2 - 81 \cdot 3^x < 3^x - 9$

Пусть $y = 3^x$, где $y > 0$.

$9y^2 - 81y < y - 9$

Перенесем все члены в левую часть:

$9y^2 - 82y + 9 < 0$

Найдем корни квадратного уравнения $9y^2 - 82y + 9 = 0$.

Дискриминант $D = (-82)^2 - 4 \cdot 9 \cdot 9 = 6724 - 324 = 6400 = 80^2$.

Корни: $y_{1,2} = \frac{82 \pm 80}{2 \cdot 9}$.

$y_1 = \frac{82 - 80}{18} = \frac{2}{18} = \frac{1}{9}$

$y_2 = \frac{82 + 80}{18} = \frac{162}{18} = 9$

Графиком функции $f(y) = 9y^2 - 82y + 9$ является парабола с ветвями вверх, поэтому неравенство $f(y) < 0$ выполняется на интервале между корнями.

$\frac{1}{9} < y < 9$

Выполним обратную замену:

$\frac{1}{9} < 3^x < 9$

Представим числа $\frac{1}{9}$ и 9 в виде степеней с основанием 3:

$3^{-2} < 3^x < 3^2$

Так как основание $3 > 1$, переходим к неравенству для показателей:

$-2 < x < 2$

Целые значения $\text{x}$ на этом интервале: -1, 0, 1. Наименьшее из них равно -1.

Ответ: -1.

3) $2^{2x+1} - 2^{x+3} \leq 2^{x+1} - 8$

Преобразуем неравенство, используя свойства степеней:

$2^{2x} \cdot 2^1 - 2^x \cdot 2^3 \leq 2^x \cdot 2^1 - 8$

$2 \cdot (2^x)^2 - 8 \cdot 2^x \leq 2 \cdot 2^x - 8$

Пусть $y = 2^x$, где $y > 0$.

$2y^2 - 8y \leq 2y - 8$

Перенесем все члены в левую часть:

$2y^2 - 10y + 8 \leq 0$

Разделим обе части неравенства на 2:

$y^2 - 5y + 4 \leq 0$

Найдем корни уравнения $y^2 - 5y + 4 = 0$. По теореме Виета, корни $y_1 = 1$, $y_2 = 4$.

Решением неравенства является отрезок между корнями $1 \leq y \leq 4$.

Выполним обратную замену:

$1 \leq 2^x \leq 4$

Представим числа 1 и 4 в виде степеней с основанием 2:

$2^0 \leq 2^x \leq 2^2$

Так как основание $2 > 1$, переходим к неравенству для показателей:

$0 \leq x \leq 2$

Наименьшее целое значение $\text{x}$ из этого промежутка равно 0.

Ответ: 0.

4) $5^{2x} - 5^{x+2} > 5^x - 25$

Преобразуем неравенство:

$(5^x)^2 - 5^x \cdot 5^2 > 5^x - 25$

Пусть $y = 5^x$, где $y > 0$.

$y^2 - 25y > y - 25$

Перенесем все члены в левую часть:

$y^2 - 26y + 25 > 0$

Найдем корни уравнения $y^2 - 26y + 25 = 0$. По теореме Виета, корни $y_1 = 1$, $y_2 = 25$.

Графиком функции $f(y) = y^2 - 26y + 25$ является парабола с ветвями вверх, поэтому неравенство $f(y) > 0$ выполняется вне интервала между корнями.

$y < 1$ или $y > 25$.

Выполним обратную замену и рассмотрим два случая:

1) $5^x < 1 \implies 5^x < 5^0 \implies x < 0$.

2) $5^x > 25 \implies 5^x > 5^2 \implies x > 2$.

Таким образом, решением неравенства является объединение двух интервалов: $x \in (-\infty; 0) \cup (2; \infty)$.

Множество целых чисел, удовлетворяющих этому условию, есть $\{\dots, -3, -2, -1\} \cup \{3, 4, 5, \dots\}$.

Это множество не ограничено снизу, поэтому наименьшего целого значения $\text{x}$ не существует.

Ответ: Наименьшего целого значения не существует.