Номер 7.87, страница 68, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

7.87. Решите неравенство:

1) $\frac{2^{x-1}-1}{2^{x+1}+1} < 2;$

2) $3^{x-1} > \frac{2-3^x}{3^x-4};$

3) $3^{|x+2|} + 3^{|x+1|} \ge 4;$

4) $10 \cdot 4^x \le 3 \cdot 2^{\sqrt{x}+x} + 4^{1+\sqrt{x}};$

1) $\frac{2^{x-1}-1}{2^{x+1}+1} < 2$

Преобразуем степени в левой части неравенства:

$2^{x-1} = \frac{2^x}{2}$

$2^{x+1} = 2 \cdot 2^x$

Подставим это в исходное неравенство:

$\frac{\frac{1}{2} \cdot 2^x - 1}{2 \cdot 2^x + 1} < 2$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = 2^x$. Так как показательная функция всегда положительна, $t > 0$.

$\frac{\frac{1}{2}t - 1}{2t + 1} < 2$

Знаменатель $2t+1$ положителен, так как $t>0$. Поэтому мы можем умножить обе части неравенства на $2t+1$, не меняя знака неравенства.

$\frac{1}{2}t - 1 < 2(2t + 1)$

$\frac{1}{2}t - 1 < 4t + 2$

Перенесем слагаемые с $\text{t}$ в одну сторону, а константы в другую:

$-1 - 2 < 4t - \frac{1}{2}t$

$-3 < \frac{7}{2}t$

Умножим обе части на $\frac{2}{7}$:

$-3 \cdot \frac{2}{7} < t$

$t > -\frac{6}{7}$

Мы получили решение для $\text{t}$: $t > -6/7$. Вспомним также условие, что $t > 0$. Пересечением этих двух условий является $t > 0$.

Вернемся к исходной переменной $\text{x}$:

$2^x > 0$

Это неравенство верно для любого действительного значения $\text{x}$, так как показательная функция $y=a^x$ с основанием $a>1$ всегда положительна.

Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$.

2) $3^{x-1} > \frac{2-3^x}{3^x-4}$

Преобразуем $3^{x-1} = \frac{3^x}{3}$. Сделаем замену переменной. Пусть $t = 3^x$. Условие: $t>0$.

$\frac{t}{3} > \frac{2-t}{t-4}$

Перенесем все в левую часть и приведем к общему знаменателю:

$\frac{t}{3} - \frac{2-t}{t-4} > 0$

$\frac{t(t-4) - 3(2-t)}{3(t-4)} > 0$

$\frac{t^2 - 4t - 6 + 3t}{3(t-4)} > 0$

$\frac{t^2 - t - 6}{3(t-4)} > 0$

Найдем корни числителя: $t^2 - t - 6 = 0$. По теореме Виета, корни $t_1 = 3$ и $t_2 = -2$. Разложим числитель на множители:

$\frac{(t-3)(t+2)}{3(t-4)} > 0$

Решим это неравенство методом интервалов для переменной $\text{t}$. Отметим на числовой оси точки, где числитель или знаменатель равны нулю: $t=-2$, $t=3$, $t=4$.

Проверим знаки на интервалах:

• При $t>4$ (например, $t=5$): $\frac{(+)(+)}{(+)} > 0$. Интервал подходит.
• При $3<t<4$ (например, $t="3.5$):" $\frac{(+)(+)}{(-)} < 0$. Интервал не подходит.
• При $-2<t<3$ (например, $t="0$):" $\frac{(-)(+)}{(-)}> 0$. Интервал подходит.$t<3$>
• При $t<-2$ (например, $t=-3$): $\frac{(-)(-)}{(-)} < 0$. Интервал не подходит.

Решение для $\text{t}$: $t \in (-2; 3) \cup (4; +\infty)$.

Учтем условие $t>0$. Пересечение множеств $(-2; 3) \cup (4; +\infty)$ и $(0; +\infty)$ дает $t \in (0; 3) \cup (4; +\infty)$.

Вернемся к переменной $\text{x}$:

1) $0 < 3^x < 3$. Так как $3^x > 0$ всегда, решаем $3^x < 3^1$. Так как основание $3>1$, то $x<1$.

2) $3^x > 4$. Логарифмируя по основанию 3, получаем $x > \log_3 4$.

Объединяя решения, получаем итоговый ответ.

Ответ: $(-\infty; 1) \cup (\log_3 4; +\infty)$.

3) $3^{|x+2|} + 3^{|x+1|} \ge 4$

Решим неравенство, раскрывая модули. Точки, в которых выражения под модулем меняют знак: $x=-2$ и $x=-1$. Рассмотрим три случая.

Случай 1: $x < -2$.

Тогда $x+2<0 \implies |x+2| = -x-2$, и $x+1<0 \implies |x+1| = -x-1$.

$3^{-x-2} + 3^{-x-1} \ge 4$

$3^{-x} \cdot 3^{-2} + 3^{-x} \cdot 3^{-1} \ge 4$

$3^{-x}(\frac{1}{9} + \frac{1}{3}) \ge 4$

$3^{-x} \cdot \frac{4}{9} \ge 4$

$3^{-x} \ge 9 \implies 3^{-x} \ge 3^2$

$-x \ge 2 \implies x \le -2$.

Пересекая с условием $x < -2$, получаем $x < -2$.

Случай 2: $-2 \le x < -1$.

Тогда $x+2 \ge 0 \implies |x+2| = x+2$, и $x+1 < 0 \implies |x+1| = -x-1$.

$3^{x+2} + 3^{-x-1} \ge 4$

$9 \cdot 3^x + \frac{1}{3} \cdot 3^{-x} \ge 4$.

Пусть $t = 3^x$. Поскольку $-2 \le x < -1$, то $3^{-2} \le 3^x < 3^{-1}$, т.е. $\frac{1}{9} \le t < \frac{1}{3}$.

$9t + \frac{1}{3t} \ge 4$. Умножим на $3t>0$: $27t^2 + 1 \ge 12t \implies 27t^2 - 12t + 1 \ge 0$.

Корни уравнения $27t^2 - 12t + 1 = 0$: $t_1 = \frac{1}{9}, t_2 = \frac{1}{3}$.

Парабола $y=27t^2 - 12t + 1$ ветвями вверх, значит, неравенство выполняется при $t \le 1/9$ или $t \ge 1/3$.

Учитывая условие $\frac{1}{9} \le t < \frac{1}{3}$, решением является только точка $t = 1/9$.

$3^x = 1/9 \implies 3^x = 3^{-2} \implies x=-2$. Это значение удовлетворяет условию $-2 \le x < -1$.

Случай 3: $x \ge -1$.

Тогда $x+2>0 \implies |x+2|=x+2$, и $x+1 \ge 0 \implies |x+1|=x+1$.

$3^{x+2} + 3^{x+1} \ge 4$

$3^x \cdot 3^2 + 3^x \cdot 3^1 \ge 4$

$3^x(9+3) \ge 4 \implies 12 \cdot 3^x \ge 4$

$3^x \ge \frac{1}{3} \implies 3^x \ge 3^{-1}$

$x \ge -1$.

Пересекая с условием $x \ge -1$, получаем $x \ge -1$.

Объединим решения из трех случаев: ($x < -2$) $\cup$ ($x=-2$) $\cup$ ($x \ge -1$).

Это дает $x \le -2$ или $x \ge -1$.

Ответ: $(-\infty; -2] \cup [-1; +\infty)$.

4) $10 \cdot 4^x \le 3 \cdot 2^{\sqrt{x}+x} + 4^{1+\sqrt{x}}$

Область допустимых значений определяется наличием квадратного корня: $x \ge 0$.

Приведем все степени к основанию 2:

$4^x = (2^2)^x = 2^{2x}$

$2^{\sqrt{x}+x} = 2^x \cdot 2^{\sqrt{x}}$

$4^{1+\sqrt{x}} = 4 \cdot 4^{\sqrt{x}} = 4 \cdot (2^2)^{\sqrt{x}} = 4 \cdot 2^{2\sqrt{x}} = 4 \cdot (2^{\sqrt{x}})^2$

Подставим в неравенство:

$10 \cdot 2^{2x} \le 3 \cdot 2^x \cdot 2^{\sqrt{x}} + 4 \cdot (2^{\sqrt{x}})^2$

Это однородное неравенство. Так как $x \ge 0$, то $2^{\sqrt{x}}>0$. Разделим обе части на $(2^{\sqrt{x}})^2 = 2^{2\sqrt{x}} > 0$. Знак неравенства не изменится.

$10 \cdot \frac{2^{2x}}{2^{2\sqrt{x}}} \le 3 \cdot \frac{2^x \cdot 2^{\sqrt{x}}}{2^{2\sqrt{x}}} + 4 \cdot \frac{(2^{\sqrt{x}})^2}{(2^{\sqrt{x}})^2}$

$10 \cdot 2^{2x-2\sqrt{x}} \le 3 \cdot 2^{x-\sqrt{x}} + 4$

$10 \cdot (2^{x-\sqrt{x}})^2 \le 3 \cdot 2^{x-\sqrt{x}} + 4$

Сделаем замену $t = 2^{x-\sqrt{x}}$. Неравенство примет вид:

$10t^2 \le 3t + 4 \implies 10t^2 - 3t - 4 \le 0$

Найдем корни квадратного трехчлена $10t^2 - 3t - 4 = 0$.

Дискриминант $D = (-3)^2 - 4 \cdot 10 \cdot (-4) = 9 + 160 = 169 = 13^2$.

Корни: $t_1 = \frac{3-13}{20} = -\frac{10}{20} = -\frac{1}{2}$, $t_2 = \frac{3+13}{20} = \frac{16}{20} = \frac{4}{5}$.

Решением неравенства $10t^2 - 3t - 4 \le 0$ является промежуток $[-\frac{1}{2}; \frac{4}{5}]$.

Так как $t=2^{x-\sqrt{x}}$, то $t>0$. Следовательно, $0 < t \le \frac{4}{5}$.

Теперь найдем, какие значения может принимать $\text{t}$. Показатель степени $g(x) = x-\sqrt{x}$. Для $x \ge 0$ это парабола $y^2-y$ относительно $y=\sqrt{x}$. Ее вершина находится в точке $y = -\frac{-1}{2 \cdot 1} = \frac{1}{2}$, что соответствует $x=1/4$.

Минимальное значение показателя: $g(1/4) = 1/4 - \sqrt{1/4} = 1/4 - 1/2 = -1/4$.

Таким образом, $x-\sqrt{x} \ge -1/4$.

Тогда для $\text{t}$ получаем: $t = 2^{x-\sqrt{x}} \ge 2^{-1/4}$.

Итак, мы имеем два условия для $\text{t}$: $t \le \frac{4}{5}$ и $t \ge 2^{-1/4}$.

Сравним $2^{-1/4}$ и $\frac{4}{5}$. Возведем оба положительных числа в 4-ю степень:

$(2^{-1/4})^4 = 2^{-1} = \frac{1}{2}$

$(\frac{4}{5})^4 = \frac{256}{625}$

Сравним $\frac{1}{2}$ и $\frac{256}{625}$. $\frac{1}{2} = 0.5$, а $\frac{256}{625} = 0.4096$.

Так как $0.5 > 0.4096$, то $\frac{1}{2} > \frac{256}{625}$, и, следовательно, $2^{-1/4} > \frac{4}{5}$.

Получаем противоречивую систему условий: $t \le \frac{4}{5}$ и $t \ge 2^{-1/4}$, где $2^{-1/4} > \frac{4}{5}$. Такая система не имеет решений.

Следовательно, исходное неравенство не имеет решений.

Ответ: $\emptyset$.