Номер 7.66, страница 63, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

В задачах 7.63 – 7.66 решите уравнения и системы уравнений:

7.66. 1) $\begin{cases} \log_2 x + \log_4 y = 4; \\ \log_4 x + \log_2 y = 5; \end{cases}$

2) $\begin{cases} \log_3 x + \log_3 y = 5; \\ 2\log_9 x - \log_3 y = -1. \end{cases}$

1) Решим систему уравнений: $$ \begin{cases} \log_2 x + \log_4 y = 4 \\ \log_4 x + \log_2 y = 5 \end{cases} $$ Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условиями: $x > 0$ и $y > 0$.

Приведем все логарифмы к основанию 2, используя формулу перехода к другому основанию $\log_{a^k} b = \frac{1}{k} \log_a b$. Получаем: $$ \log_4 x = \log_{2^2} x = \frac{1}{2}\log_2 x $$ $$ \log_4 y = \log_{2^2} y = \frac{1}{2}\log_2 y $$ Подставим эти выражения в исходную систему: $$ \begin{cases} \log_2 x + \frac{1}{2}\log_2 y = 4 \\ \frac{1}{2}\log_2 x + \log_2 y = 5 \end{cases} $$

Для удобства решения введем замену переменных. Пусть $a = \log_2 x$ и $b = \log_2 y$. Система примет вид: $$ \begin{cases} a + \frac{1}{2}b = 4 \\ \frac{1}{2}a + b = 5 \end{cases} $$ Умножим каждое уравнение на 2, чтобы избавиться от дробных коэффициентов: $$ \begin{cases} 2a + b = 8 \\ a + 2b = 10 \end{cases} $$ Решим полученную систему линейных уравнений. Из первого уравнения выразим $\text{b}$: $b = 8 - 2a$. Подставим во второе уравнение: $$ a + 2(8 - 2a) = 10 $$ $$ a + 16 - 4a = 10 $$ $$ -3a = 10 - 16 $$ $$ -3a = -6 $$ $$ a = 2 $$ Теперь найдем $\text{b}$: $$ b = 8 - 2a = 8 - 2(2) = 4 $$

Выполним обратную замену, чтобы найти $\text{x}$ и $\text{y}$: $$ \log_2 x = a \implies \log_2 x = 2 \implies x = 2^2 = 4 $$ $$ \log_2 y = b \implies \log_2 y = 4 \implies y = 2^4 = 16 $$ Найденная пара $(4; 16)$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $(4; 16)$.

2) Решим систему уравнений: $$ \begin{cases} \log_3 x + \log_9 y = 5 \\ 2\log_9 x - \log_3 y = -1 \end{cases} $$ Область допустимых значений (ОДЗ): $x > 0$ и $y > 0$.

Приведем логарифмы к единому основанию 3, используя формулу $\log_{a^k} b = \frac{1}{k} \log_a b$: $$ \log_9 x = \log_{3^2} x = \frac{1}{2}\log_3 x $$ $$ \log_9 y = \log_{3^2} y = \frac{1}{2}\log_3 y $$ Подставим в систему: $$ \begin{cases} \log_3 x + \frac{1}{2}\log_3 y = 5 \\ 2\left(\frac{1}{2}\log_3 x\right) - \log_3 y = -1 \end{cases} $$ После упрощения второго уравнения система примет вид: $$ \begin{cases} \log_3 x + \frac{1}{2}\log_3 y = 5 \\ \log_3 x - \log_3 y = -1 \end{cases} $$

Сделаем замену переменных: пусть $a = \log_3 x$ и $b = \log_3 y$. $$ \begin{cases} a + \frac{1}{2}b = 5 \\ a - b = -1 \end{cases} $$ Это система линейных уравнений. Из второго уравнения выразим $\text{a}$: $a = b - 1$. Подставим это выражение в первое уравнение: $$ (b - 1) + \frac{1}{2}b = 5 $$ $$ \frac{3}{2}b - 1 = 5 $$ $$ \frac{3}{2}b = 6 $$ $$ b = 6 \cdot \frac{2}{3} = 4 $$ Теперь найдем $\text{a}$: $$ a = b - 1 = 4 - 1 = 3 $$

Выполним обратную замену для нахождения $\text{x}$ и $\text{y}$: $$ \log_3 x = a \implies \log_3 x = 3 \implies x = 3^3 = 27 $$ $$ \log_3 y = b \implies \log_3 y = 4 \implies y = 3^4 = 81 $$ Найденная пара $(27; 81)$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $(27; 81)$.