Номер 7.60, страница 62, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

7.60. Решите систему уравнений:

1) $\begin{cases} 3^x \cdot 2^y = 576, \\ \log_{\sqrt{2}}(y - x) = 4; \end{cases}$

2) $\begin{cases} 4^{x+y} = 2^{y-x}, \\ 4^{\log_{\sqrt{2}} x} = y^4 - 5; \end{cases}$

3) $\begin{cases} x^y = 3^{12}, \\ y - \log_3 x = 11; \end{cases}$

4) $\begin{cases} 3^y \cdot 9^x = 81, \\ \lg(x + y)^2 - \lg x = 2 \lg 3. \end{cases}$

1)

Рассмотрим систему уравнений $ \begin{cases} 3^x \cdot 2^y = 576 \\ \log_{\sqrt{2}}(y-x) = 4 \end{cases} $.

Сначала преобразуем второе уравнение. По определению логарифма, $ \log_{a}b = c $ эквивалентно $ a^c = b $. Применяя это правило, получаем:

$ y-x = (\sqrt{2})^4 $

$ y-x = (2^{1/2})^4 = 2^{4/2} = 2^2 = 4 $

Отсюда выразим $ y $: $ y = x+4 $. Также из области определения логарифма следует, что $ y-x > 0 $, что выполняется, так как $ y-x=4 $.

Теперь подставим выражение для $ y $ в первое уравнение системы:

$ 3^x \cdot 2^{x+4} = 576 $

Используя свойство степеней $ a^{m+n} = a^m \cdot a^n $, перепишем уравнение:

$ 3^x \cdot 2^x \cdot 2^4 = 576 $

$ (3 \cdot 2)^x \cdot 16 = 576 $

$ 6^x \cdot 16 = 576 $

Разделим обе части на 16:

$ 6^x = \frac{576}{16} = 36 $

Так как $ 36 = 6^2 $, получаем:

$ 6^x = 6^2 $

Отсюда $ x = 2 $.

Теперь найдем $ y $:

$ y = x+4 = 2+4 = 6 $.

Таким образом, решение системы - пара чисел $ (2, 6) $.

Ответ: $ (2, 6) $.

2)

Рассмотрим систему уравнений $ \begin{cases} 4^{x+y} = 2^{y-x} \\ 4^{\log_{\sqrt{2}} x} = y^4 - 5 \end{cases} $.

Область определения: $ x > 0 $.

Преобразуем первое уравнение, приведя обе части к основанию 2:

$ (2^2)^{x+y} = 2^{y-x} $

$ 2^{2(x+y)} = 2^{y-x} $

Приравниваем показатели степеней:

$ 2x + 2y = y - x $

$ 3x + y = 0 $, откуда $ y = -3x $.

Теперь преобразуем второе уравнение. Упростим показатель степени $ \log_{\sqrt{2}} x $:

$ \log_{\sqrt{2}} x = \log_{2^{1/2}} x = \frac{1}{1/2}\log_2 x = 2\log_2 x = \log_2 x^2 $.

Подставим это в левую часть второго уравнения:

$ 4^{\log_{\sqrt{2}} x} = 4^{\log_2 x^2} = (2^2)^{\log_2 x^2} = 2^{2\log_2 x^2} = 2^{\log_2 (x^2)^2} = 2^{\log_2 x^4} $.

Используя основное логарифмическое тождество $ a^{\log_a b} = b $, получаем:

$ 2^{\log_2 x^4} = x^4 $.

Таким образом, второе уравнение принимает вид $ x^4 = y^4 - 5 $.

Теперь решим систему из двух полученных уравнений:

$ \begin{cases} y = -3x \\ x^4 = y^4 - 5 \end{cases} $

Подставим $ y = -3x $ во второе уравнение:

$ x^4 = (-3x)^4 - 5 $

$ x^4 = 81x^4 - 5 $

$ 80x^4 = 5 $

$ x^4 = \frac{5}{80} = \frac{1}{16} $

Отсюда $ x = \pm \sqrt[4]{\frac{1}{16}} = \pm \frac{1}{2} $.

Согласно области определения $ x > 0 $, выбираем $ x = \frac{1}{2} $.

Находим $ y $: $ y = -3x = -3 \cdot \frac{1}{2} = -\frac{3}{2} $.

Решение системы: $ (\frac{1}{2}, -\frac{3}{2}) $.

Ответ: $ (\frac{1}{2}, -\frac{3}{2}) $.

3)

Рассмотрим систему уравнений $ \begin{cases} x^y = 3^{12} \\ y - \log_3 x = 11 \end{cases} $.

Область определения: $ x > 0 $.

Из второго уравнения выразим $ y $: $ y = 11 + \log_3 x $.

Подставим это выражение в первое уравнение:

$ x^{11 + \log_3 x} = 3^{12} $.

Прологарифмируем обе части уравнения по основанию 3:

$ \log_3(x^{11 + \log_3 x}) = \log_3(3^{12}) $.

Используя свойство логарифма $ \log_a(b^c) = c \log_a b $, получаем:

$ (11 + \log_3 x) \cdot \log_3 x = 12 $.

Сделаем замену переменной. Пусть $ t = \log_3 x $. Уравнение примет вид:

$ (11+t) \cdot t = 12 $

$ t^2 + 11t - 12 = 0 $.

Это квадратное уравнение. Его корни можно найти по теореме Виета: $ t_1 + t_2 = -11 $, $ t_1 \cdot t_2 = -12 $. Корни: $ t_1 = 1 $ и $ t_2 = -12 $.

Выполним обратную замену.

Случай 1: $ t = 1 $.

$ \log_3 x = 1 \implies x = 3^1 = 3 $.

Находим $ y $: $ y = 11 + \log_3 3 = 11 + 1 = 12 $.

Первое решение: $ (3, 12) $.

Случай 2: $ t = -12 $.

$ \log_3 x = -12 \implies x = 3^{-12} $.

Находим $ y $: $ y = 11 + \log_3(3^{-12}) = 11 + (-12) = -1 $.

Второе решение: $ (3^{-12}, -1) $.

Оба решения удовлетворяют области определения $ x > 0 $.

Ответ: $ (3, 12), (3^{-12}, -1) $.

4)

Рассмотрим систему уравнений $ \begin{cases} 3^y \cdot 9^x = 81 \\ \lg(x+y)^2 - \lg x = 2 \lg 3 \end{cases} $.

Область определения: $ x > 0 $ и $ x+y \neq 0 $.

Преобразуем первое уравнение, приведя все к основанию 3:

$ 3^y \cdot (3^2)^x = 3^4 $

$ 3^y \cdot 3^{2x} = 3^4 $

$ 3^{y+2x} = 3^4 $

Приравнивая показатели, получаем: $ y+2x = 4 $, откуда $ y = 4-2x $.

Теперь преобразуем второе уравнение, используя свойства логарифмов $ \log a - \log b = \log(a/b) $ и $ n \log a = \log(a^n) $:

$ \lg\left(\frac{(x+y)^2}{x}\right) = \lg(3^2) $

$ \lg\left(\frac{(x+y)^2}{x}\right) = \lg 9 $

Поскольку логарифмическая функция монотонна, приравниваем аргументы:

$ \frac{(x+y)^2}{x} = 9 $

$ (x+y)^2 = 9x $.

Теперь подставим $ y = 4-2x $ в это уравнение:

$ (x + (4-2x))^2 = 9x $

$ (4-x)^2 = 9x $

$ 16 - 8x + x^2 = 9x $

$ x^2 - 17x + 16 = 0 $.

Это квадратное уравнение. Его корни по теореме Виета: $ x_1 \cdot x_2 = 16 $, $ x_1 + x_2 = 17 $. Корни: $ x_1 = 1 $ и $ x_2 = 16 $.

Найдем соответствующие значения $ y $.

Случай 1: $ x = 1 $.

$ y = 4 - 2(1) = 2 $.

Проверим условия области определения для пары $ (1, 2) $: $ x = 1 > 0 $ и $ x+y = 1+2 = 3 \neq 0 $. Условия выполняются.

Первое решение: $ (1, 2) $.

Случай 2: $ x = 16 $.

$ y = 4 - 2(16) = 4 - 32 = -28 $.

Проверим условия области определения для пары $ (16, -28) $: $ x = 16 > 0 $ и $ x+y = 16-28 = -12 \neq 0 $. Условия выполняются.

Второе решение: $ (16, -28) $.

Ответ: $ (1, 2), (16, -28) $.