Номер 7.53, страница 60, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

7.53. Решите уравнение:

1) $2\log_x 3 + \log_{3x} 3 + 3\log_{9x} 3 = 0$

2) $\log_2(x + 1)^2 + \log_2|x + 1| = 6$

3) $\lg \ln x + \lg(\ln x^2 - 1) = 1$

4) $\log_x 3 \cdot \log_{\frac{x}{3}} 3 + \log_{\frac{x}{81}} 3 = 0$

1) $2\log_x 3 + \log_{3x} 3 + 3\log_{9x} 3 = 0$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Основание логарифма должно быть положительным и не равным 1:

$x > 0, x \neq 1$

$3x > 0, 3x \neq 1 \Rightarrow x > 0, x \neq 1/3$

$9x > 0, 9x \neq 1 \Rightarrow x > 0, x \neq 1/9$

Объединяя условия, получаем ОДЗ: $x \in (0, 1/9) \cup (1/9, 1/3) \cup (1/3, 1) \cup (1, \infty)$.

Воспользуемся формулой перехода к новому основанию: $\log_a b = \frac{1}{\log_b a}$. Перейдем к основанию 3:

$\log_x 3 = \frac{1}{\log_3 x}$

$\log_{3x} 3 = \frac{1}{\log_3(3x)} = \frac{1}{\log_3 3 + \log_3 x} = \frac{1}{1 + \log_3 x}$

$\log_{9x} 3 = \frac{1}{\log_3(9x)} = \frac{1}{\log_3 9 + \log_3 x} = \frac{1}{2 + \log_3 x}$

Подставим эти выражения в исходное уравнение:

$\frac{2}{\log_3 x} + \frac{1}{1 + \log_3 x} + \frac{3}{2 + \log_3 x} = 0$

Сделаем замену $t = \log_3 x$. Уравнение примет вид:

$\frac{2}{t} + \frac{1}{1+t} + \frac{3}{2+t} = 0$

Приведем к общему знаменателю $t(1+t)(2+t)$:

$2(1+t)(2+t) + t(2+t) + 3t(1+t) = 0$, при условии $t \neq 0, t \neq -1, t \neq -2$.

Раскроем скобки и упростим:

$2(2+3t+t^2) + (2t+t^2) + (3t+3t^2) = 0$

$4+6t+2t^2 + 2t+t^2 + 3t+3t^2 = 0$

$6t^2 + 11t + 4 = 0$

Решим квадратное уравнение:

$D = 11^2 - 4 \cdot 6 \cdot 4 = 121 - 96 = 25$

$t_1 = \frac{-11 - \sqrt{25}}{2 \cdot 6} = \frac{-16}{12} = -\frac{4}{3}$

$t_2 = \frac{-11 + \sqrt{25}}{2 \cdot 6} = \frac{-6}{12} = -\frac{1}{2}$

Оба корня удовлетворяют условиям $t \neq 0, t \neq -1, t \neq -2$.

Вернемся к замене:

1. $\log_3 x = -\frac{4}{3} \Rightarrow x = 3^{-4/3} = \frac{1}{3^{4/3}} = \frac{1}{\sqrt[3]{81}}$

2. $\log_3 x = -\frac{1}{2} \Rightarrow x = 3^{-1/2} = \frac{1}{\sqrt{3}}$

Оба корня принадлежат ОДЗ.

Ответ: $3^{-4/3}; 3^{-1/2}$.

2) $\log_2 (x + 1)^2 + \log_2 |x + 1| = 6$

ОДЗ: аргументы логарифмов должны быть строго положительны.

$(x+1)^2 > 0 \Rightarrow x+1 \neq 0 \Rightarrow x \neq -1$

$|x+1| > 0 \Rightarrow x+1 \neq 0 \Rightarrow x \neq -1$

ОДЗ: $x \in (-\infty, -1) \cup (-1, \infty)$.

Используем свойство логарифма $\log_a b^2 = 2\log_a|b|$:

$\log_2 (x+1)^2 = 2\log_2|x+1|$

Подставим в уравнение:

$2\log_2|x+1| + \log_2|x+1| = 6$

$3\log_2|x+1| = 6$

$\log_2|x+1| = 2$

По определению логарифма:

$|x+1| = 2^2 = 4$

Это уравнение равносильно двум случаям:

1. $x+1 = 4 \Rightarrow x = 3$

2. $x+1 = -4 \Rightarrow x = -5$

Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($x \neq -1$).

Ответ: $-5; 3$.

3) $\lg(\ln x) + \lg(\ln x^2 - 1) = 1$

ОДЗ: аргументы всех логарифмов должны быть положительны.

1. Аргумент внутреннего логарифма: $x > 0$ и $x^2 > 0 \Rightarrow x \neq 0$. Значит $x>0$.

2. Аргумент внешнего логарифма (lg):

$\ln x > 0 \Rightarrow x > e^0 \Rightarrow x > 1$.

$\ln x^2 - 1 > 0$. Так как $x > 1$, то $\ln x > 0$, поэтому $\ln x^2 = 2\ln x$.

$2\ln x - 1 > 0 \Rightarrow 2\ln x > 1 \Rightarrow \ln x > 1/2 \Rightarrow x > e^{1/2} \Rightarrow x > \sqrt{e}$.

Объединяя условия, получаем ОДЗ: $x > \sqrt{e}$.

Используем свойство суммы логарифмов $\log_a b + \log_a c = \log_a(bc)$:

$\lg((\ln x)(\ln x^2 - 1)) = 1$

Учитывая ОДЗ, заменим $\ln x^2$ на $2\ln x$:

$\lg((\ln x)(2\ln x - 1)) = 1$

По определению десятичного логарифма:

$(\ln x)(2\ln x - 1) = 10^1 = 10$

Сделаем замену $t = \ln x$:

$t(2t-1) = 10$

$2t^2 - t - 10 = 0$

Решим квадратное уравнение:

$D = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-10) = 1 + 80 = 81$

$t_1 = \frac{1 - \sqrt{81}}{4} = \frac{1-9}{4} = -2$

$t_2 = \frac{1 + \sqrt{81}}{4} = \frac{1+9}{4} = \frac{10}{4} = \frac{5}{2}$

Вернемся к замене:

1. $\ln x = -2 \Rightarrow x = e^{-2}$. Этот корень не удовлетворяет ОДЗ ($x > \sqrt{e}$), так как $e^{-2} < 1$, а $\sqrt{e} > 1$.

2. $\ln x = \frac{5}{2} \Rightarrow x = e^{5/2}$. Этот корень удовлетворяет ОДЗ, так как $e^{5/2} > \sqrt{e}$ ($5/2 > 1/2$).

Ответ: $e^{5/2}$.

4) $\log_x 3 \cdot \log_{\frac{x}{3}} 3 + \log_{\frac{x}{81}} 3 = 0$

ОДЗ: основания логарифмов должны быть положительны и не равны 1.

$x > 0, x \neq 1$

$\frac{x}{3} > 0, \frac{x}{3} \neq 1 \Rightarrow x > 0, x \neq 3$

$\frac{x}{81} > 0, \frac{x}{81} \neq 1 \Rightarrow x > 0, x \neq 81$

ОДЗ: $x \in (0,1) \cup (1,3) \cup (3,81) \cup (81, \infty)$.

Перейдем к основанию 3, используя формулу $\log_a b = \frac{1}{\log_b a}$:

$\log_x 3 = \frac{1}{\log_3 x}$

$\log_{\frac{x}{3}} 3 = \frac{1}{\log_3(x/3)} = \frac{1}{\log_3 x - \log_3 3} = \frac{1}{\log_3 x - 1}$

$\log_{\frac{x}{81}} 3 = \frac{1}{\log_3(x/81)} = \frac{1}{\log_3 x - \log_3 81} = \frac{1}{\log_3 x - 4}$

Подставим в уравнение:

$\frac{1}{\log_3 x} \cdot \frac{1}{\log_3 x - 1} + \frac{1}{\log_3 x - 4} = 0$

Сделаем замену $t = \log_3 x$:

$\frac{1}{t(t-1)} + \frac{1}{t-4} = 0$, при $t \neq 0, 1, 4$.

$\frac{1}{t(t-1)} = - \frac{1}{t-4}$

$t-4 = -t(t-1)$

$t-4 = -t^2 + t$

$t^2 = 4$

$t_1 = 2, t_2 = -2$

Оба корня удовлетворяют ограничениям на $\text{t}$.

Вернемся к замене:

1. $\log_3 x = 2 \Rightarrow x = 3^2 = 9$.

2. $\log_3 x = -2 \Rightarrow x = 3^{-2} = \frac{1}{9}$.

Оба корня $\text{9}$ и $1/9$ принадлежат ОДЗ.

Ответ: $\frac{1}{9}; 9$.