Номер 7.49, страница 60, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

7.49. Решите логарифмическое уравнение методом введения новой переменной:

1) $\frac{1}{12} \ln^2 x = \frac{1}{3} - \frac{1}{4} \ln x$;

2) $\log_2^2 x^3 - 20 \cdot \log_2 \sqrt{x} + 1 = 0$;

3) $2\log_3^2 x - 7\log_3 x + 3 = 0$;

4) $\log_3^2 x - 3\log_3 x + 2 = 0$.

1) Рассмотрим уравнение $ \frac{1}{12}\ln^2 x = \frac{1}{3} - \frac{1}{4}\ln x $.

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условием $ x > 0 $.

Перенесём все члены уравнения в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение относительно $ \ln x $:

$ \frac{1}{12}\ln^2 x + \frac{1}{4}\ln x - \frac{1}{3} = 0 $.

Чтобы избавиться от дробных коэффициентов, умножим обе части уравнения на 12:

$ \ln^2 x + 3\ln x - 4 = 0 $.

Введём новую переменную. Пусть $ t = \ln x $. Уравнение примет вид:

$ t^2 + 3t - 4 = 0 $.

Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, корни уравнения: $ t_1 = 1 $ и $ t_2 = -4 $.

Или через дискриминант: $ D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25 = 5^2 $.

$ t_{1,2} = \frac{-3 \pm 5}{2} $, что дает $ t_1 = 1 $ и $ t_2 = -4 $.

Выполним обратную замену:

1. При $ t = 1 $, имеем $ \ln x = 1 $, откуда $ x = e^1 = e $.

2. При $ t = -4 $, имеем $ \ln x = -4 $, откуда $ x = e^{-4} $.

Оба корня $ e $ и $ e^{-4} $ положительны, следовательно, удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $ e, e^{-4} $.

2) Рассмотрим уравнение $ \log_2^2 x^3 - 20 \cdot \log_2 \sqrt{x} + 1 = 0 $.

ОДЗ: $ x > 0 $.

Используем свойства логарифмов для упрощения уравнения:

$ \log_2^2 x^3 = (\log_2 x^3)^2 = (3\log_2 x)^2 = 9\log_2^2 x $.

$ \log_2 \sqrt{x} = \log_2 x^{1/2} = \frac{1}{2}\log_2 x $.

Подставим упрощенные выражения в исходное уравнение:

$ 9\log_2^2 x - 20 \cdot \frac{1}{2}\log_2 x + 1 = 0 $.

$ 9\log_2^2 x - 10\log_2 x + 1 = 0 $.

Введём новую переменную. Пусть $ t = \log_2 x $. Уравнение примет вид:

$ 9t^2 - 10t + 1 = 0 $.

Решим это квадратное уравнение. Так как сумма коэффициентов $ 9 - 10 + 1 = 0 $, то один корень равен 1, а второй $ c/a $.

$ t_1 = 1 $.

$ t_2 = \frac{1}{9} $.

Выполним обратную замену:

1. При $ t = 1 $, имеем $ \log_2 x = 1 $, откуда $ x = 2^1 = 2 $.

2. При $ t = 1/9 $, имеем $ \log_2 x = \frac{1}{9} $, откуда $ x = 2^{1/9} = \sqrt[9]{2} $.

Оба корня $ 2 $ и $ \sqrt[9]{2} $ положительны, следовательно, удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $ 2, \sqrt[9]{2} $.

3) Рассмотрим уравнение $ 2\log_a^2 x - 7\log_a x + 3 = 0 $. В условии, вероятно, допущена опечатка, и основание логарифма должно быть числом. Исходя из контекста соседних задач и неоднозначности записи в условии, будем считать, что основание равно 3. Решим уравнение $ 2\log_3^2 x - 7\log_3 x + 3 = 0 $.

ОДЗ: $ x > 0 $.

Уравнение уже имеет вид квадратного относительно $ \log_3 x $. Введём новую переменную. Пусть $ t = \log_3 x $. Уравнение примет вид:

$ 2t^2 - 7t + 3 = 0 $.

Решим это квадратное уравнение через дискриминант:

$ D = (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 49 - 24 = 25 = 5^2 $.

$ t_{1,2} = \frac{7 \pm 5}{2 \cdot 2} = \frac{7 \pm 5}{4} $.

$ t_1 = \frac{7+5}{4} = \frac{12}{4} = 3 $.

$ t_2 = \frac{7-5}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} $.

Выполним обратную замену:

1. При $ t = 3 $, имеем $ \log_3 x = 3 $, откуда $ x = 3^3 = 27 $.

2. При $ t = 1/2 $, имеем $ \log_3 x = \frac{1}{2} $, откуда $ x = 3^{1/2} = \sqrt{3} $.

Оба корня $ 27 $ и $ \sqrt{3} $ положительны и удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $ 27, \sqrt{3} $.

4) Рассмотрим уравнение $ \log_a^2 x - 3\log_a x + 2 = 0 $. Аналогично предыдущему пункту, предположим, что основание логарифма равно 3. Решим уравнение $ \log_3^2 x - 3\log_3 x + 2 = 0 $.

ОДЗ: $ x > 0 $.

Введём новую переменную. Пусть $ t = \log_3 x $. Уравнение примет вид:

$ t^2 - 3t + 2 = 0 $.

Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, корни уравнения:

$ t_1 = 1 $.

$ t_2 = 2 $.

Выполним обратную замену:

1. При $ t = 1 $, имеем $ \log_3 x = 1 $, откуда $ x = 3^1 = 3 $.

2. При $ t = 2 $, имеем $ \log_3 x = 2 $, откуда $ x = 3^2 = 9 $.

Оба корня $ 3 $ и $ 9 $ положительны и удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $ 3, 9 $.