Номер 7.42, страница 59, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

7.42. Решите простейшее логарифмическое уравнение:

1) $\log_{\frac{1}{2}}(2x+3)=0;$

2) $\log_2(x + 1) = 3;$

3) $\ln(3x-5) = 0;$

4) $\log_{0.8}(5 - x) = -1;$

5) $\log_{\frac{1}{2}}x = \log_2(3 - x);$

6) $\lg(2x - 1) = \lg3.$

1) Для решения уравнения $\log_{\frac{1}{2}}(2x+3) = 0$ необходимо найти область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть строго положительным: $2x+3 > 0$, откуда $2x > -3$, то есть $x > -1.5$.

По определению логарифма ($log_b a = c \Leftrightarrow a = b^c$), данное уравнение равносильно следующему: $2x+3 = (\frac{1}{2})^0$.

Так как любое число в нулевой степени равно единице, получаем: $2x+3 = 1$.

Решаем линейное уравнение: $2x = 1 - 3$, $2x = -2$, $x = -1$.

Проверяем, удовлетворяет ли корень ОДЗ: $-1 > -1.5$. Условие выполняется, значит, корень подходит.

Ответ: -1.

2) В уравнении $\log_2(x+1) = 3$ ОДЗ определяется условием $x+1 > 0$, то есть $x > -1$.

Используя определение логарифма, переходим к уравнению: $x+1 = 2^3$.

Вычисляем степень: $x+1 = 8$.

Находим $\text{x}$: $x = 8 - 1$, $x = 7$.

Корень $x = 7$ удовлетворяет ОДЗ ($7 > -1$).

Ответ: 7.

3) Уравнение $\ln(3x-5) = 0$ является логарифмическим с основанием $\text{e}$ (натуральный логарифм).

ОДЗ: $3x-5 > 0$, откуда $3x > 5$, то есть $x > \frac{5}{3}$.

По определению логарифма: $3x-5 = e^0$.

Так как $e^0 = 1$, получаем: $3x-5 = 1$.

Решаем уравнение: $3x = 6$, $x = 2$.

Проверяем ОДЗ: $2 > \frac{5}{3}$ (поскольку $2 = \frac{6}{3}$). Корень подходит.

Ответ: 2.

4) В уравнении $\log_{0.3}(5-x) = -1$ ОДЗ определяется условием $5-x > 0$, то есть $x < 5$.

По определению логарифма: $5-x = (0.3)^{-1}$.

Преобразуем правую часть: $(0.3)^{-1} = (\frac{3}{10})^{-1} = \frac{10}{3}$.

Получаем уравнение: $5-x = \frac{10}{3}$.

Выражаем $\text{x}$: $x = 5 - \frac{10}{3} = \frac{15}{3} - \frac{10}{3} = \frac{5}{3}$.

Корень $x = \frac{5}{3}$ удовлетворяет ОДЗ ($\frac{5}{3} < 5$).

Ответ: $\frac{5}{3}$.

5) В уравнении $\log_{\frac{1}{2}}x = \log_{\frac{1}{2}}(3-x)$ основания логарифмов одинаковы. Это позволяет приравнять их аргументы, но сначала найдем ОДЗ.

Система неравенств для ОДЗ: $\begin{cases} x > 0 \\ 3-x > 0 \end{cases}$, что дает $\begin{cases} x > 0 \\ x < 3 \end{cases}$. Таким образом, ОДЗ: $0 < x < 3$.

Приравниваем аргументы логарифмов: $x = 3-x$.

Решаем уравнение: $2x = 3$, $x = \frac{3}{2}$ или $x = 1.5$.

Значение $x = 1.5$ входит в интервал $(0; 3)$, следовательно, является решением.

Ответ: $\frac{3}{2}$.

6) Уравнение $\lg(2x-1) = \lg3$ содержит десятичные логарифмы (с основанием 10).

ОДЗ: $2x-1 > 0$, откуда $2x > 1$, то есть $x > \frac{1}{2}$.

Поскольку основания логарифмов равны, приравниваем их аргументы: $2x-1 = 3$.

Решаем полученное уравнение: $2x = 4$, $x = 2$.

Корень $x=2$ удовлетворяет ОДЗ ($2 > \frac{1}{2}$).

Ответ: 2.