Номер 7.39, страница 54, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

7.39. Упростите выражения:

1) $\frac{x^{\frac{1}{2}}+1}{x+x^{\frac{1}{2}}+1} \div \frac{1}{x^{1.5}-1}$

2) $\left(2x^{\frac{3}{2}}+27y^{\frac{3}{5}}\right) \div \left(\left(\frac{1}{2}\right)^{-\frac{1}{2}}+3y^{\frac{1}{5}}\right)$

1) $\frac{x^{\frac{1}{2}}+1}{x+x^{\frac{1}{2}}+1} \div \frac{1}{x^{1.5}-1}$

Заменим деление на умножение на обратную дробь и представим показатель степени $1.5$ в виде дроби $\frac{3}{2}$:

$\frac{x^{\frac{1}{2}}+1}{x+x^{\frac{1}{2}}+1} \cdot (x^{\frac{3}{2}}-1)$

Выражение $x^{\frac{3}{2}}-1$ можно разложить на множители по формуле разности кубов $a^3-b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$, где $a = x^{\frac{1}{2}}$ и $b=1$.

$x^{\frac{3}{2}}-1 = (x^{\frac{1}{2}})^3 - 1^3 = (x^{\frac{1}{2}}-1)((x^{\frac{1}{2}})^2 + x^{\frac{1}{2}}\cdot1 + 1^2) = (x^{\frac{1}{2}}-1)(x+x^{\frac{1}{2}}+1)$

Подставим разложенное выражение в исходное:

$\frac{x^{\frac{1}{2}}+1}{x+x^{\frac{1}{2}}+1} \cdot (x^{\frac{1}{2}}-1)(x+x^{\frac{1}{2}}+1)$

Сократим дробь на общий множитель $(x+x^{\frac{1}{2}}+1)$:

$(x^{\frac{1}{2}}+1)(x^{\frac{1}{2}}-1)$

Применим формулу разности квадратов $(a+b)(a-b) = a^2-b^2$, где $a = x^{\frac{1}{2}}$ и $b=1$:

$(x^{\frac{1}{2}})^2 - 1^2 = x-1$

Ответ: $x-1$

2) $(2^{\frac{3}{2}} + 27y^{\frac{3}{5}}) \div ((\frac{1}{2})^{-\frac{1}{2}} + 3y^{\frac{1}{5}})$

Сначала упростим выражение в скобках справа (делитель). Используем свойство степени с отрицательным показателем $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$ и $a^{\frac{1}{2}} = \sqrt{a}$:

$(\frac{1}{2})^{-\frac{1}{2}} = (2)^{\frac{1}{2}} = \sqrt{2}$

Тогда делитель равен $2^{\frac{1}{2}} + 3y^{\frac{1}{5}}$.

Теперь рассмотрим выражение в левых скобках (делимое). Его можно представить как сумму кубов $a^3+b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$.

Пусть $a^3 = 2^{\frac{3}{2}}$, тогда $a = (2^{\frac{3}{2}})^{\frac{1}{3}} = 2^{\frac{1}{2}}$.

Пусть $b^3 = 27y^{\frac{3}{5}}$, тогда $b = (27y^{\frac{3}{5}})^{\frac{1}{3}} = 27^{\frac{1}{3}} \cdot (y^{\frac{3}{5}})^{\frac{1}{3}} = 3y^{\frac{1}{5}}$.

Таким образом, делимое можно разложить на множители:

$2^{\frac{3}{2}} + 27y^{\frac{3}{5}} = (2^{\frac{1}{2}})^3 + (3y^{\frac{1}{5}})^3 = (2^{\frac{1}{2}} + 3y^{\frac{1}{5}}) \cdot ((2^{\frac{1}{2}})^2 - 2^{\frac{1}{2}} \cdot 3y^{\frac{1}{5}} + (3y^{\frac{1}{5}})^2)$

$= (2^{\frac{1}{2}} + 3y^{\frac{1}{5}})(2 - 3 \cdot 2^{\frac{1}{2}}y^{\frac{1}{5}} + 9y^{\frac{2}{5}})$

Теперь выполним деление:

$\frac{(2^{\frac{1}{2}} + 3y^{\frac{1}{5}})(2 - 3 \cdot 2^{\frac{1}{2}}y^{\frac{1}{5}} + 9y^{\frac{2}{5}})}{2^{\frac{1}{2}} + 3y^{\frac{1}{5}}}$

Сократим дробь на общий множитель $(2^{\frac{1}{2}} + 3y^{\frac{1}{5}})$:

$2 - 3 \cdot 2^{\frac{1}{2}}y^{\frac{1}{5}} + 9y^{\frac{2}{5}}$

Ответ: $2 - 3 \cdot 2^{\frac{1}{2}}y^{\frac{1}{5}} + 9y^{\frac{2}{5}}$