Номер 7.40, страница 54, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

7.40. Постройте график функции $y = 2^{|x+3|} - 5$.

7.40. Для построения графика функции $y = 2^{|x+3|} - 5$ будем использовать метод последовательных геометрических преобразований, начиная с графика базовой функции $y = 2^x$.

1. Строим график основной показательной функции $y = 2^x$. Это возрастающая кривая, которая проходит через точку $(0, 1)$.

2. Применяем преобразование $f(x) \to f(|x|)$, получая функцию $y = 2^{|x|}$. Часть графика $y=2^x$ при $x \ge 0$ сохраняется, а для $x < 0$ строится ее зеркальное отражение относительно оси OY. В результате получаем график, симметричный относительно оси OY, с точкой минимума $(0, 1)$.

3. Выполняем сдвиг графика $y = 2^{|x|}$ на 3 единицы влево по оси OX, чтобы получить график функции $y = 2^{|x+3|}$. Ось симметрии смещается и становится прямой $x=-3$, а точка минимума перемещается в точку $(-3, 1)$.

4. Выполняем сдвиг графика $y = 2^{|x+3|}$ на 5 единиц вниз по оси OY. Это дает итоговый график $y = 2^{|x+3|} - 5$. Точка минимума смещается в $(-3, 1-5) = (-3, -4)$.

Для более точного построения найдем ключевые точки графика.

• Вершина (точка минимума): достигается, когда показатель степени минимален, то есть $|x+3|=0$. Это происходит при $x=-3$. Значение функции в этой точке: $y = 2^0 - 5 = 1 - 5 = -4$. Координаты вершины: $(-3, -4)$.

• Пересечение с осью OY: подставим $x=0$. Получим $y = 2^{|0+3|} - 5 = 2^3 - 5 = 8-5=3$. Точка пересечения: $(0, 3)$.

• Пересечение с осью OX (нули функции): подставим $y=0$. Решим уравнение $2^{|x+3|} - 5 = 0 \implies 2^{|x+3|} = 5$. Логарифмируя обе части по основанию 2, получаем $|x+3| = \log_2 5$. Отсюда следует два решения: $x+3 = \log_2 5$ и $x+3 = -\log_2 5$. Корни: $x_1 = -3 + \log_2 5$ и $x_2 = -3 - \log_2 5$. Точки пересечения с осью OX: $(-3 + \log_2 5, 0)$ и $(-3 - \log_2 5, 0)$.

• Дополнительные симметричные точки:

  При $x=-2$, $y=2^{|-2+3|}-5 = 2^1-5 = -3$. Точка $(-2, -3)$. Симметричная ей относительно оси $x=-3$ точка $(-4, -3)$.

  При $x=-1$, $y=2^{|-1+3|}-5 = 2^2-5 = -1$. Точка $(-1, -1)$. Симметричная ей точка $(-5, -1)$.

  При $x=0$, $y=3$. Точка $(0, 3)$. Симметричная ей точка $(-6, 3)$.

Ответ: График функции $y = 2^{|x+3|} - 5$ получается из графика функции $y=2^{|x|}$ сдвигом на 3 единицы влево и 5 единиц вниз. Итоговый график симметричен относительно вертикальной прямой $x=-3$, имеет точку минимума (вершину) в $(-3, -4)$. График состоит из двух экспоненциальных ветвей: возрастающей при $x>-3$ и убывающей при $x<-3$. График пересекает ось OY в точке $(0, 3)$ и ось OX в точках $(-3 + \log_2 5, 0)$ и $(-3 - \log_2 5, 0)$.