Номер 7.33, страница 54, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

7.33. Решите уравнение:

1) $4^{\sqrt{x}} - 9 \cdot 2^{\sqrt{x}-1} + 2 = 0;$

2) $\left(\frac{5}{2}\right)^{\frac{4+\sqrt{9-x}}{\sqrt{9-x}}} \cdot \left(\frac{2}{5}\right)^{1-\sqrt{9-x}} = 5^{10} \left(\frac{1}{10}\right)^5;$

3) $8^{\frac{2}{x}} - 2^{\frac{3x+3}{x}} + 12 = 0;$

4) $5^x \sqrt{8^{x-1}} = 500;$

5) $27^x - 13 \cdot 9^x + 13 \cdot 3^{x+1} - 27 = 0.$

1) $4^{\sqrt{x}} - 9 \cdot 2^{\sqrt{x}-1} + 2 = 0$

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условием подкоренного выражения: $x \ge 0$.

Преобразуем уравнение, приведя все степени к основанию 2:

$(2^2)^{\sqrt{x}} - 9 \cdot 2^{\sqrt{x}} \cdot 2^{-1} + 2 = 0$

$(2^{\sqrt{x}})^2 - \frac{9}{2} \cdot 2^{\sqrt{x}} + 2 = 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = 2^{\sqrt{x}}$. Так как $\sqrt{x} \ge 0$, то $t = 2^{\sqrt{x}} \ge 2^0 = 1$.

Уравнение принимает вид квадратного уравнения относительно $\text{t}$:

$t^2 - \frac{9}{2}t + 2 = 0$

Умножим обе части на 2, чтобы избавиться от дроби:

$2t^2 - 9t + 4 = 0$

Найдем корни этого квадратного уравнения. Дискриминант $D = (-9)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 4 = 81 - 32 = 49 = 7^2$.

$t_1 = \frac{9 - 7}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

$t_2 = \frac{9 + 7}{2 \cdot 2} = \frac{16}{4} = 4$

Проверим корни на соответствие условию $t \ge 1$.

$t_1 = 1/2$ не удовлетворяет условию $t \ge 1$.

$t_2 = 4$ удовлетворяет условию $t \ge 1$.

Выполним обратную замену для $t=4$:

$2^{\sqrt{x}} = 4$

$2^{\sqrt{x}} = 2^2$

$\sqrt{x} = 2$

Возведя обе части в квадрат, получаем $x=4$.

Корень $x=4$ удовлетворяет ОДЗ ($x \ge 0$).

Ответ: 4.

2) $(\frac{5}{2})^{\frac{4+\sqrt{9-x}}{\sqrt{9-x}}} \cdot (\frac{2}{5})^{1-\sqrt{9-x}} = 5^{10}(\frac{1}{10})^5$

ОДЗ: выражение под корнем должно быть положительным (так как оно в знаменателе): $9-x > 0$, откуда $x < 9$.

Преобразуем левую часть уравнения. Заметим, что $\frac{2}{5} = (\frac{5}{2})^{-1}$.

$(\frac{5}{2})^{\frac{4}{\sqrt{9-x}} + 1} \cdot ((\frac{5}{2})^{-1})^{1-\sqrt{9-x}} = (\frac{5}{2})^{\frac{4}{\sqrt{9-x}} + 1} \cdot (\frac{5}{2})^{-1(1-\sqrt{9-x})} = (\frac{5}{2})^{\frac{4}{\sqrt{9-x}} + 1 + \sqrt{9-x} - 1} = (\frac{5}{2})^{\frac{4}{\sqrt{9-x}} + \sqrt{9-x}}$

Преобразуем правую часть уравнения:

$5^{10}(\frac{1}{10})^5 = 5^{10} \cdot \frac{1}{10^5} = \frac{5^{10}}{(5 \cdot 2)^5} = \frac{5^{10}}{5^5 \cdot 2^5} = \frac{5^5}{2^5} = (\frac{5}{2})^5$

Уравнение принимает вид:

$(\frac{5}{2})^{\frac{4}{\sqrt{9-x}} + \sqrt{9-x}} = (\frac{5}{2})^5$

Приравниваем показатели степеней:

$\frac{4}{\sqrt{9-x}} + \sqrt{9-x} = 5$

Сделаем замену: пусть $y = \sqrt{9-x}$. По ОДЗ $y > 0$.

$\frac{4}{y} + y = 5$

$4 + y^2 = 5y$

$y^2 - 5y + 4 = 0$

По теореме Виета корни $y_1=1$ и $y_2=4$. Оба корня положительны.

Выполним обратную замену:

1) $\sqrt{9-x} = 1 \implies 9-x = 1 \implies x = 8$.

2) $\sqrt{9-x} = 4 \implies 9-x = 16 \implies x = -7$.

Оба корня ($x=8$ и $x=-7$) удовлетворяют ОДЗ ($x<9$).

Ответ: -7; 8.

3) $8^{\frac{2}{x}} - 2^{\frac{3x+3}{x}} + 12 = 0$

ОДЗ: знаменатель дроби не может быть равен нулю, поэтому $x \neq 0$.

Приведем все степени к основанию 2:

$(2^3)^{\frac{2}{x}} - 2^{\frac{3x}{x} + \frac{3}{x}} + 12 = 0$

$2^{\frac{6}{x}} - 2^{3 + \frac{3}{x}} + 12 = 0$

$2^{\frac{6}{x}} - 2^3 \cdot 2^{\frac{3}{x}} + 12 = 0$

$(2^{\frac{3}{x}})^2 - 8 \cdot 2^{\frac{3}{x}} + 12 = 0$

Сделаем замену: пусть $t = 2^{\frac{3}{x}}$. Так как показательная функция всегда положительна, $t > 0$.

$t^2 - 8t + 12 = 0$

По теореме Виета корни $t_1=2$ и $t_2=6$. Оба корня положительны.

Выполним обратную замену:

1) $2^{\frac{3}{x}} = 2 \implies 2^{\frac{3}{x}} = 2^1 \implies \frac{3}{x} = 1 \implies x = 3$.

2) $2^{\frac{3}{x}} = 6 \implies \frac{3}{x} = \log_2{6} \implies x = \frac{3}{\log_2{6}}$.

Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($x \neq 0$).

Ответ: 3; $\frac{3}{\log_2{6}}$.

4) $5^x \cdot \sqrt[x]{8^{x-1}} = 500$

ОДЗ: $x \neq 0$. Предполагаем, что $\text{x}$ - действительное число, тогда $\sqrt[x]{a} = a^{1/x}$.

Преобразуем уравнение:

$5^x \cdot (8^{x-1})^{\frac{1}{x}} = 500$

$5^x \cdot 8^{\frac{x-1}{x}} = 500$

Разложим 500 на множители: $500 = 5 \cdot 100 = 5 \cdot 10^2 = 5 \cdot (2 \cdot 5)^2 = 5 \cdot 2^2 \cdot 5^2 = 5^3 \cdot 2^2$.

$5^x \cdot (2^3)^{1-\frac{1}{x}} = 5^3 \cdot 2^2$

$5^x \cdot 2^{3(1-\frac{1}{x})} = 5^3 \cdot 2^2$

$5^x \cdot 2^{3-\frac{3}{x}} = 5^3 \cdot 2^2$

Перенесем степени в одну сторону:

$\frac{5^x}{5^3} \cdot \frac{2^{3-\frac{3}{x}}}{2^2} = 1$

$5^{x-3} \cdot 2^{3-\frac{3}{x}-2} = 1$

$5^{x-3} \cdot 2^{1-\frac{3}{x}} = 1$

$5^{x-3} \cdot 2^{\frac{x-3}{x}} = 1$

$(5 \cdot 2^{\frac{1}{x}})^{x-3} = 1$

Равенство вида $A^B = 1$ возможно в случаях:

1) Показатель степени равен нулю: $B=0$.

$x-3 = 0 \implies x = 3$. При этом основание $A = 5 \cdot 2^{1/3} \neq 0$, так что это корень.

2) Основание равно единице: $A=1$.

$5 \cdot 2^{\frac{1}{x}} = 1 \implies 2^{\frac{1}{x}} = \frac{1}{5} \implies 2^{\frac{1}{x}} = 5^{-1}$

Логарифмируем по основанию 2: $\frac{1}{x} = \log_2(5^{-1}) = -\log_2 5$.

$x = -\frac{1}{\log_2 5} = -\log_5 2$.

Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($x \neq 0$).

Ответ: 3; $-\log_5 2$.

5) $27^x - 13 \cdot 9^x + 13 \cdot 3^{x+1} - 27 = 0$

ОДЗ: $x \in \mathbb{R}$.

Приведем все степени к основанию 3:

$(3^3)^x - 13 \cdot (3^2)^x + 13 \cdot (3^x \cdot 3^1) - 27 = 0$

$(3^x)^3 - 13 \cdot (3^x)^2 + 39 \cdot 3^x - 27 = 0$

Сделаем замену: пусть $t = 3^x$. Так как $x \in \mathbb{R}$, то $t > 0$.

Получаем кубическое уравнение относительно $\text{t}$:

$t^3 - 13t^2 + 39t - 27 = 0$

Найдем целые корни среди делителей свободного члена (-27): $\pm 1, \pm 3, \pm 9, \pm 27$.

Проверим $t=1$: $1^3 - 13 \cdot 1^2 + 39 \cdot 1 - 27 = 1 - 13 + 39 - 27 = 0$. Значит, $t=1$ является корнем.

Разделим многочлен $t^3 - 13t^2 + 39t - 27$ на $(t-1)$:

$(t-1)(t^2 - 12t + 27) = 0$

Решим квадратное уравнение $t^2 - 12t + 27 = 0$.

По теореме Виета, $t_2=3$ и $t_3=9$.

Все три корня для $\text{t}$ ($1, 3, 9$) положительны.

Выполним обратную замену $t=3^x$:

1) $3^x = 1 \implies 3^x = 3^0 \implies x = 0$.

2) $3^x = 3 \implies 3^x = 3^1 \implies x = 1$.

3) $3^x = 9 \implies 3^x = 3^2 \implies x = 2$.

Ответ: 0; 1; 2.