Номер 7.26, страница 53, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1) $3^{2x+4} + 45 \cdot 6^x - 9 \cdot 2^{2x+2} = 0$

Преобразуем каждый член уравнения, используя свойства степеней:

$3^{2x+4} = 3^{2x} \cdot 3^4 = 81 \cdot (3^2)^x = 81 \cdot 9^x$

$6^x = (2 \cdot 3)^x = 2^x \cdot 3^x$

$2^{2x+2} = 2^{2x} \cdot 2^2 = 4 \cdot (2^2)^x = 4 \cdot 4^x$

Подставим преобразованные выражения в исходное уравнение:

$81 \cdot 9^x + 45 \cdot (2^x \cdot 3^x) - 9 \cdot (4 \cdot 4^x) = 0$

$81 \cdot 9^x + 45 \cdot 2^x \cdot 3^x - 36 \cdot 4^x = 0$

Это однородное показательное уравнение. Разделим обе части уравнения на $4^x$. Так как $4^x > 0$ при любом значении $\text{x}$, это преобразование является равносильным.

$81 \cdot \frac{9^x}{4^x} + 45 \cdot \frac{2^x \cdot 3^x}{4^x} - 36 \cdot \frac{4^x}{4^x} = 0$

$81 \cdot (\frac{9}{4})^x + 45 \cdot (\frac{3}{2})^x - 36 = 0$

$81 \cdot ((\frac{3}{2})^2)^x + 45 \cdot (\frac{3}{2})^x - 36 = 0$

$81 \cdot ((\frac{3}{2})^x)^2 + 45 \cdot (\frac{3}{2})^x - 36 = 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = (\frac{3}{2})^x$. Так как показательная функция всегда положительна, то $t > 0$.

Получаем квадратное уравнение относительно $\text{t}$:

$81t^2 + 45t - 36 = 0$

Разделим уравнение на 9 для упрощения:

$9t^2 + 5t - 4 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Дискриминант $D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 9 \cdot (-4) = 25 + 144 = 169 = 13^2$.

Корни уравнения:

$t_1 = \frac{-5 + \sqrt{169}}{2 \cdot 9} = \frac{-5 + 13}{18} = \frac{8}{18} = \frac{4}{9}$

$t_2 = \frac{-5 - \sqrt{169}}{2 \cdot 9} = \frac{-5 - 13}{18} = \frac{-18}{18} = -1$

Так как $t > 0$, корень $t_2 = -1$ является посторонним. Используем корень $t_1 = \frac{4}{9}$.

Выполним обратную замену:

$(\frac{3}{2})^x = \frac{4}{9}$

$(\frac{3}{2})^x = (\frac{2}{3})^2$

$(\frac{3}{2})^x = (\frac{3}{2})^{-2}$

Отсюда следует, что $x = -2$.

Ответ: $-2$.

2) $3^{2-x} \cdot 2^{2x} - 7 \cdot 2^x = 2 \cdot 3^x$

Перенесем все члены уравнения в левую часть:

$3^{2-x} \cdot 2^{2x} - 7 \cdot 2^x - 2 \cdot 3^x = 0$

Преобразуем член $3^{2-x} = \frac{3^2}{3^x} = \frac{9}{3^x}$.

Подставим в уравнение:

$\frac{9}{3^x} \cdot 2^{2x} - 7 \cdot 2^x - 2 \cdot 3^x = 0$

Умножим обе части уравнения на $3^x$, чтобы избавиться от знаменателя. Так как $3^x > 0$, это равносильное преобразование.

$9 \cdot 2^{2x} - 7 \cdot 2^x \cdot 3^x - 2 \cdot 3^x \cdot 3^x = 0$

$9 \cdot (2^x)^2 - 7 \cdot (2 \cdot 3)^x - 2 \cdot (3^x)^2 = 0$

$9 \cdot (2^{2x}) - 7 \cdot 6^x - 2 \cdot (3^{2x}) = 0$

Получили однородное показательное уравнение. Разделим обе части на $3^{2x} > 0$.

$9 \cdot \frac{2^{2x}}{3^{2x}} - 7 \cdot \frac{6^x}{3^{2x}} - 2 \cdot \frac{3^{2x}}{3^{2x}} = 0$

$9 \cdot (\frac{2}{3})^{2x} - 7 \cdot \frac{(2 \cdot 3)^x}{(3^2)^x} - 2 = 0$

$9 \cdot (\frac{2}{3})^{2x} - 7 \cdot \frac{2^x \cdot 3^x}{3^x \cdot 3^x} - 2 = 0$

$9 \cdot ((\frac{2}{3})^x)^2 - 7 \cdot (\frac{2}{3})^x - 2 = 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $y = (\frac{2}{3})^x$. Так как $y > 0$.

Получаем квадратное уравнение:

$9y^2 - 7y - 2 = 0$

Решим это уравнение. Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 9 \cdot (-2) = 49 + 72 = 121 = 11^2$.

Корни уравнения:

$y_1 = \frac{-(-7) + \sqrt{121}}{2 \cdot 9} = \frac{7 + 11}{18} = \frac{18}{18} = 1$

$y_2 = \frac{-(-7) - \sqrt{121}}{2 \cdot 9} = \frac{7 - 11}{18} = \frac{-4}{18} = -\frac{2}{9}$

Условию $y > 0$ удовлетворяет только корень $y_1 = 1$.

Выполним обратную замену:

$(\frac{2}{3})^x = 1$

$(\frac{2}{3})^x = (\frac{2}{3})^0$

Отсюда $x = 0$.

Ответ: $\text{0}$.