Номер 7.19, страница 52, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

7.19. Радиоактивное вещество с течением времени t (в неделях) распадается, и его масса M (в граммах) уменьшается по закону $M = 1000 \cdot 2^{-0.04t}$. Определите время, в течение которого распадется половина первоначальной массы вещества. Через какое время масса вещества составит 1% первоначальной массы?

Определите время, в течение которого распадется половина первоначальной массы вещества.

Масса радиоактивного вещества $M_t$ (в граммах) с течением времени $\text{t}$ (в неделях) изменяется по закону $M_t = 1000 \cdot 2^{-0.04t}$.

1. Сначала найдем первоначальную массу вещества $M_0$, то есть массу в момент времени $t=0$.

$M_0 = M_{t=0} = 1000 \cdot 2^{-0.04 \cdot 0} = 1000 \cdot 2^0 = 1000 \cdot 1 = 1000$ граммов.

2. Нам нужно определить время, когда масса вещества станет равной половине первоначальной, то есть $M_t = \frac{M_0}{2}$.

$M_t = \frac{1000}{2} = 500$ граммов.

3. Подставим это значение в исходную формулу и найдем время $\text{t}$.

$500 = 1000 \cdot 2^{-0.04t}$

Разделим обе части уравнения на 1000:

$\frac{500}{1000} = 2^{-0.04t}$

$0.5 = 2^{-0.04t}$

Поскольку $0.5$ можно представить как $\frac{1}{2}$ или $2^{-1}$, уравнение примет вид:

$2^{-1} = 2^{-0.04t}$

Так как основания степеней равны, мы можем приравнять их показатели:

$-1 = -0.04t$

Отсюда выражаем $\text{t}$:

$t = \frac{-1}{-0.04} = \frac{1}{0.04} = \frac{100}{4} = 25$

Следовательно, половина первоначальной массы вещества распадется за 25 недель. Это время также известно как период полураспада.

Ответ: 25 недель.

Через какое время масса вещества составит 1% первоначальной массы?

1. Первоначальная масса вещества, как мы уже выяснили, составляет $M_0 = 1000$ граммов.

2. Найдем массу, которая составляет 1% от первоначальной:

$M_t = 0.01 \cdot M_0 = 0.01 \cdot 1000 = 10$ граммов.

3. Теперь подставим это значение в закон распада, чтобы найти соответствующее время $\text{t}$.

$10 = 1000 \cdot 2^{-0.04t}$

Разделим обе части уравнения на 1000:

$\frac{10}{1000} = 2^{-0.04t}$

$0.01 = 2^{-0.04t}$

Чтобы решить это показательное уравнение, прологарифмируем обе части. Удобно использовать логарифм по основанию 2:

$\log_2(0.01) = \log_2(2^{-0.04t})$

Используя свойство логарифма $\log_a(a^x)=x$, получаем:

$\log_2(0.01) = -0.04t$

Выразим $\text{t}$:

$t = \frac{\log_2(0.01)}{-0.04}$

Используя свойство $\log_a(x^p) = p\log_a(x)$, преобразуем выражение:

$t = \frac{\log_2(10^{-2})}{-0.04} = \frac{-2\log_2(10)}{-0.04} = \frac{2\log_2(10)}{0.04} = 50\log_2(10)$

Для вычисления точного значения воспользуемся формулой перехода к другому основанию логарифма, например, к натуральному логарифму ($\ln$): $\log_a(b) = \frac{\ln(b)}{\ln(a)}$.

$t = 50 \cdot \frac{\ln(10)}{\ln(2)}$

Используя калькулятор, найдем приближенные значения: $\ln(10) \approx 2.30259$, $\ln(2) \approx 0.69315$.

$t \approx 50 \cdot \frac{2.30259}{0.69315} \approx 50 \cdot 3.3219 \approx 166.096$

Округлим результат до двух знаков после запятой.

Ответ: примерно 166.10 недель.