Номер 7.13, страница 51, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

7.13. Решите показательное уравнение методом введения новой переменной:

1) $9^{x+3} + 3^{x+2} = 10;$

2) $4^{x-2} - 17 \cdot 2^{x-4} + 1 = 0;$

3) $4^{\sqrt{x-2}} + 16 = 10 \cdot 2^{\sqrt{x-2}};$

4) $5^{4\sqrt{x}} - 14 \cdot 5^{2\sqrt{x}} - 275 = 0.$

1) $9^{x+3} + 3^{x+2} = 10$

Преобразуем уравнение, приведя степени к одному основанию $\text{3}$. Заметим, что $9 = 3^2$.

$9^{x+3} = (3^2)^{x+3} = 3^{2(x+3)} = 3^{2x+6}$.

Чтобы выполнить замену, выразим $3^{2x+6}$ через $3^{x+2}$:

$3^{2x+6} = 3^{2(x+2)+2} = 3^{2(x+2)} \cdot 3^2 = 9 \cdot (3^{x+2})^2$.

Теперь исходное уравнение можно переписать в виде:

$9 \cdot (3^{x+2})^2 + 3^{x+2} - 10 = 0$.

Введем новую переменную. Пусть $t = 3^{x+2}$. Так как показательная функция всегда положительна, то $t > 0$.

Получаем квадратное уравнение относительно $\text{t}$:

$9t^2 + t - 10 = 0$.

Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 9 \cdot (-10) = 1 + 360 = 361 = 19^2$.

Найдем корни уравнения:

$t_1 = \frac{-1 - \sqrt{361}}{2 \cdot 9} = \frac{-1 - 19}{18} = \frac{-20}{18} = -\frac{10}{9}$.

$t_2 = \frac{-1 + \sqrt{361}}{2 \cdot 9} = \frac{-1 + 19}{18} = \frac{18}{18} = 1$.

Корень $t_1 = -\frac{10}{9}$ не удовлетворяет условию $t > 0$, поэтому он является посторонним.

Рассматриваем корень $t_2 = 1$.

Выполним обратную замену:

$3^{x+2} = 1$.

Представим $\text{1}$ как степень с основанием $\text{3}$: $1 = 3^0$.

$3^{x+2} = 3^0$.

Приравниваем показатели степеней:

$x+2 = 0$.

$x = -2$.

Ответ: $-2$.

2) $4^{x-2} - 17 \cdot 2^{x-4} + 1 = 0$

Приведем степени к основанию $\text{2}$, так как $4=2^2$.

$4^{x-2} = (2^2)^{x-2} = 2^{2(x-2)} = 2^{2x-4}$.

Выразим $2^{2x-4}$ через степень с показателем $x-4$, который присутствует во втором члене уравнения:

$2^{2x-4} = 2^{2(x-4)+4} = 2^{2(x-4)} \cdot 2^4 = 16 \cdot (2^{x-4})^2$.

Подставим это выражение в исходное уравнение:

$16 \cdot (2^{x-4})^2 - 17 \cdot 2^{x-4} + 1 = 0$.

Введем замену: пусть $t = 2^{x-4}$. Условие: $t > 0$.

Получаем квадратное уравнение:

$16t^2 - 17t + 1 = 0$.

Найдем дискриминант: $D = (-17)^2 - 4 \cdot 16 \cdot 1 = 289 - 64 = 225 = 15^2$.

Корни уравнения:

$t_1 = \frac{17 - 15}{2 \cdot 16} = \frac{2}{32} = \frac{1}{16}$.

$t_2 = \frac{17 + 15}{2 \cdot 16} = \frac{32}{32} = 1$.

Оба корня положительны, поэтому рассматриваем оба случая.

1. Если $t = \frac{1}{16}$, то выполняем обратную замену:

$2^{x-4} = \frac{1}{16} \Rightarrow 2^{x-4} = 2^{-4}$.

$x-4 = -4 \Rightarrow x = 0$.

2. Если $t = 1$, то выполняем обратную замену:

$2^{x-4} = 1 \Rightarrow 2^{x-4} = 2^0$.

$x-4 = 0 \Rightarrow x = 4$.

Ответ: $0; 4$.

3) $4^{\sqrt{x}-2} + 16 = 10 \cdot 2^{\sqrt{x}-2}$

Область допустимых значений (ОДЗ) для этого уравнения определяется подкоренным выражением: $x \ge 0$.

Перенесем все члены в левую часть уравнения:

$4^{\sqrt{x}-2} - 10 \cdot 2^{\sqrt{x}-2} + 16 = 0$.

Преобразуем $4^{\sqrt{x}-2}$, приведя к основанию $\text{2}$:

$4^{\sqrt{x}-2} = (2^2)^{\sqrt{x}-2} = 2^{2(\sqrt{x}-2)} = (2^{\sqrt{x}-2})^2$.

Уравнение примет вид:

$(2^{\sqrt{x}-2})^2 - 10 \cdot 2^{\sqrt{x}-2} + 16 = 0$.

Сделаем замену: пусть $t = 2^{\sqrt{x}-2}$. Условие: $t > 0$.

Получаем квадратное уравнение:

$t^2 - 10t + 16 = 0$.

По теореме Виета, сумма корней равна $10$, а произведение равно $16$. Корни легко находятся: $t_1 = 2$ и $t_2 = 8$.

Оба корня положительны, поэтому оба подходят.

1. Если $t = 2$, то $2^{\sqrt{x}-2} = 2^1$.

$\sqrt{x}-2 = 1 \Rightarrow \sqrt{x} = 3$.

Возводим обе части в квадрат: $x = 9$.

2. Если $t = 8$, то $2^{\sqrt{x}-2} = 8 \Rightarrow 2^{\sqrt{x}-2} = 2^3$.

$\sqrt{x}-2 = 3 \Rightarrow \sqrt{x} = 5$.

Возводим обе части в квадрат: $x = 25$.

Оба корня ($\text{9}$ и $25$) удовлетворяют ОДЗ ($x \ge 0$).

Ответ: $9; 25$.

4) $5^{4\sqrt{x}} - 14 \cdot 5^{2\sqrt{x}} - 275 = 0$

ОДЗ: $x \ge 0$.

Заметим, что $5^{4\sqrt{x}} = 5^{2 \cdot (2\sqrt{x})} = (5^{2\sqrt{x}})^2$.

Уравнение можно переписать в виде:

$(5^{2\sqrt{x}})^2 - 14 \cdot 5^{2\sqrt{x}} - 275 = 0$.

Введем замену: пусть $t = 5^{2\sqrt{x}}$.

Так как $x \ge 0$, то $\sqrt{x} \ge 0$, и $2\sqrt{x} \ge 0$. Следовательно, $t = 5^{2\sqrt{x}} \ge 5^0 = 1$. Таким образом, $t \ge 1$.

Получаем квадратное уравнение:

$t^2 - 14t - 275 = 0$.

Найдем дискриминант: $D = (-14)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-275) = 196 + 1100 = 1296 = 36^2$.

Корни уравнения:

$t_1 = \frac{14 - 36}{2} = \frac{-22}{2} = -11$.

$t_2 = \frac{14 + 36}{2} = \frac{50}{2} = 25$.

Корень $t_1 = -11$ не удовлетворяет условию $t \ge 1$.

Корень $t_2 = 25$ удовлетворяет условию $t \ge 1$.

Выполним обратную замену:

$5^{2\sqrt{x}} = 25$.

$5^{2\sqrt{x}} = 5^2$.

Приравниваем показатели:

$2\sqrt{x} = 2$.

$\sqrt{x} = 1$.

$x = 1$.

Корень $x=1$ удовлетворяет ОДЗ ($x \ge 0$).

Ответ: $\text{1}$.