Номер 7.14, страница 51, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

7.14. Решите уравнение:

1) $5^{2x^2-x} = 6^{2x^2-x}$;

2) $8 \cdot 7^{x^2-5x+7} = 7 \cdot 8^{x^2-5x+7}$;

3) $0,6^x \cdot \left(\frac{25}{9}\right)^{x^2-12} = \left(\frac{27}{125}\right)^3$;

4) $\left(\frac{5}{3}\right)^{x+1} \cdot \left(\frac{9}{25}\right)^{x^2+2x-11} = \left(\frac{125}{27}\right)^3$.

1) $5^{2x^2-x} = 6^{2x^2-x}$

Это показательное уравнение вида $a^{f(x)} = b^{f(x)}$, где $a, b > 0$ и $a \neq b$. Такое равенство возможно только в том случае, если показатель степени равен нулю.

$2x^2 - x = 0$

Вынесем общий множитель $\text{x}$ за скобки:

$x(2x - 1) = 0$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю:

$x_1 = 0$

или

$2x - 1 = 0 \Rightarrow 2x = 1 \Rightarrow x_2 = \frac{1}{2}$

Ответ: $0; \frac{1}{2}$

2) $8 \cdot 7^{x^2-5x+7} = 7 \cdot 8^{x^2-5x+7}$

Сгруппируем члены с одинаковыми основаниями. Для этого разделим обе части уравнения на $\text{7}$ и на $8^{x^2-5x+7}$ (эти выражения не равны нулю):

$\frac{8}{7} = \frac{8^{x^2-5x+7}}{7^{x^2-5x+7}}$

$\frac{8}{7} = (\frac{8}{7})^{x^2-5x+7}$

Левую часть можно представить как $(\frac{8}{7})^1$:

$(\frac{8}{7})^1 = (\frac{8}{7})^{x^2-5x+7}$

Поскольку основания степеней равны, приравниваем их показатели:

$1 = x^2 - 5x + 7$

Переносим все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 - 5x + 6 = 0$

По теореме Виета, сумма корней равна $\text{5}$, а их произведение равно $\text{6}$. Этим условиям удовлетворяют числа $\text{2}$ и $\text{3}$.

$x_1 = 2, x_2 = 3$

Ответ: $2; 3$

3) $0,6^x \cdot (\frac{25}{9})^{x^2-12} = (\frac{27}{125})^3$

Для решения приведем все степени к одному основанию. Заметим, что все числа в уравнении являются степенями дроби $\frac{3}{5}$ или $\frac{5}{3}$. Выберем основание $\frac{3}{5}$.

$0,6 = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$

$\frac{25}{9} = (\frac{5}{3})^2 = ((\frac{3}{5})^{-1})^2 = (\frac{3}{5})^{-2}$

$\frac{27}{125} = (\frac{3}{5})^3$

Подставим эти выражения в исходное уравнение:

$(\frac{3}{5})^x \cdot ((\frac{3}{5})^{-2})^{x^2-12} = ((\frac{3}{5})^3)^3$

Применим свойства степеней $(a^m)^n = a^{mn}$ и $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:

$(\frac{3}{5})^x \cdot (\frac{3}{5})^{-2(x^2-12)} = (\frac{3}{5})^9$

$(\frac{3}{5})^{x - 2x^2 + 24} = (\frac{3}{5})^9$

Приравниваем показатели степеней:

$x - 2x^2 + 24 = 9$

$2x^2 - x - 15 = 0$

Решим квадратное уравнение. Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4(2)(-15) = 1 + 120 = 121$.

$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 \pm \sqrt{121}}{4} = \frac{1 \pm 11}{4}$

$x_1 = \frac{1+11}{4} = \frac{12}{4} = 3$

$x_2 = \frac{1-11}{4} = \frac{-10}{4} = -2,5$

Ответ: $3; -2,5$

4) $(\frac{5}{3})^{x+1} \cdot (\frac{9}{25})^{x^2+2x-11} = (\frac{125}{27})^3$

Приведем все степени к одному основанию $\frac{5}{3}$.

$\frac{9}{25} = (\frac{3}{5})^2 = ((\frac{5}{3})^{-1})^2 = (\frac{5}{3})^{-2}$

$\frac{125}{27} = (\frac{5}{3})^3$

Подставим в уравнение:

$(\frac{5}{3})^{x+1} \cdot ((\frac{5}{3})^{-2})^{x^2+2x-11} = ((\frac{5}{3})^3)^3$

Упростим, используя свойства степеней:

$(\frac{5}{3})^{x+1} \cdot (\frac{5}{3})^{-2(x^2+2x-11)} = (\frac{5}{3})^9$

$(\frac{5}{3})^{x+1 - 2x^2 - 4x + 22} = (\frac{5}{3})^9$

$(\frac{5}{3})^{-2x^2 - 3x + 23} = (\frac{5}{3})^9$

Приравниваем показатели степеней:

$-2x^2 - 3x + 23 = 9$

$2x^2 + 3x - 14 = 0$

Решим квадратное уравнение. Дискриминант $D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4(2)(-14) = 9 + 112 = 121$.

$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 \pm \sqrt{121}}{4} = \frac{-3 \pm 11}{4}$

$x_1 = \frac{-3+11}{4} = \frac{8}{4} = 2$

$x_2 = \frac{-3-11}{4} = \frac{-14}{4} = -3,5$

Ответ: $2; -3,5$