Номер 7.21, страница 52, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

7.21. Найдите единственный корень уравнения:

1) $7^x + 24^x = 25^x$;

2) $12^x + 5^x = 13^x$;

3) $2^{x^2} + 5^{x^2} = 2 - \text{tg}^2x$;

4) $3^{x^2+1} + 5^{x^2} = 4 - \sin^2x$.

1)

Дано уравнение $7^x + 24^x = 25^x$.

Заметим, что числа 7, 24 и 25 являются Пифагоровой тройкой, так как выполняется равенство $7^2 + 24^2 = 49 + 576 = 625 = 25^2$. Это наводит на мысль, что $x=2$ может быть корнем уравнения. Выполним проверку, подставив $x=2$ в исходное уравнение:

$7^2 + 24^2 = 49 + 576 = 625$

$25^2 = 625$

Поскольку левая и правая части равны, $x=2$ действительно является корнем уравнения.

Для доказательства единственности корня преобразуем уравнение. Разделим обе части на $25^x$ (это выражение всегда положительно, поэтому деление корректно):

$(\frac{7}{25})^x + (\frac{24}{25})^x = 1$

Введем функцию $f(x) = (\frac{7}{25})^x + (\frac{24}{25})^x$. Левая часть уравнения представляет собой сумму двух показательных функций с основаниями $a_1 = \frac{7}{25}$ и $a_2 = \frac{24}{25}$. Так как оба основания находятся в интервале $(0; 1)$, каждая из этих функций является строго убывающей. Сумма двух строго убывающих функций также является строго убывающей функцией. Следовательно, $f(x)$ — строго убывающая функция на всей области определения.

Строго монотонная функция каждое свое значение принимает ровно один раз. Это означает, что уравнение $f(x) = 1$ может иметь не более одного решения. Поскольку мы уже нашли одно решение $x=2$, оно является единственным.

Ответ: 2

2)

Дано уравнение $12^x + 5^x = 13^x$.

Эта задача аналогична предыдущей. Числа 5, 12 и 13 также образуют Пифагорову тройку: $5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 = 13^2$. Проверим корень $x=2$:

$12^2 + 5^2 = 144 + 25 = 169$

$13^2 = 169$

Равенство выполняется, значит, $x=2$ является корнем.

Чтобы доказать, что этот корень единственный, разделим обе части уравнения на $13^x$ (что всегда больше нуля):

$(\frac{12}{13})^x + (\frac{5}{13})^x = 1$

Рассмотрим функцию $g(x) = (\frac{12}{13})^x + (\frac{5}{13})^x$. Основания показательных функций $\frac{12}{13}$ и $\frac{5}{13}$ находятся в интервале $(0; 1)$, поэтому каждая из них является строго убывающей. Их сумма, функция $g(x)$, также является строго убывающей.

Так как функция $g(x)$ строго монотонна, уравнение $g(x)=1$ может иметь не более одного корня. Мы уже нашли, что $g(2)=1$, следовательно, $x=2$ — единственный корень уравнения.

Ответ: 2

3)

Дано уравнение $2^{x^2} + 5^{x^4} = 2 - \tan^2 x$.

Для решения этого уравнения воспользуемся методом оценки левой и правой частей. Оценим каждую часть уравнения по отдельности.

Левая часть (ЛЧ): $f(x) = 2^{x^2} + 5^{x^4}$.

Поскольку $x^2 \ge 0$ и $x^4 \ge 0$ для любого действительного $\text{x}$, то для показательных функций получаем:

$2^{x^2} \ge 2^0 = 1$

$5^{x^4} \ge 5^0 = 1$

Следовательно, левая часть $f(x) = 2^{x^2} + 5^{x^4} \ge 1 + 1 = 2$. Равенство $f(x)=2$ достигается только при $x^2=0$ и $x^4=0$, то есть при $x=0$.

Правая часть (ПЧ): $g(x) = 2 - \tan^2 x$.

Квадрат любой величины неотрицателен, поэтому $\tan^2 x \ge 0$ для всех $\text{x}$ из области определения тангенса. Отсюда следует, что $g(x) = 2 - \tan^2 x \le 2$. Равенство $g(x)=2$ достигается, когда $\tan^2 x = 0$, то есть при $x=k\pi$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Итак, мы имеем $f(x) \ge 2$ и $g(x) \le 2$. Равенство $f(x) = g(x)$ возможно тогда и только тогда, когда обе части равны 2:

$f(x) = 2$ и $g(x) = 2$

Первое условие выполняется только при $x=0$. Второе условие выполняется при $x=k\pi$. Единственное значение, удовлетворяющее обоим условиям, — это $x=0$ (при $k=0$).

Таким образом, единственным решением уравнения является $x=0$.

Ответ: 0

4)

Дано уравнение $3^{x^2+1} + 5^{x^4} = 4 - \sin^2 x$.

Как и в предыдущем примере, применим метод оценки.

Левая часть (ЛЧ): $f(x) = 3^{x^2+1} + 5^{x^4}$.

Для любого действительного $\text{x}$ выполняются неравенства $x^2 \ge 0$ и $x^4 \ge 0$. Тогда $x^2+1 \ge 1$. Оценим слагаемые:

$3^{x^2+1} \ge 3^1 = 3$

$5^{x^4} \ge 5^0 = 1$

Следовательно, $f(x) = 3^{x^2+1} + 5^{x^4} \ge 3 + 1 = 4$. Равенство $f(x)=4$ достигается, только если $x^2+1=1$ и $x^4=0$, что возможно лишь при $x=0$.

Правая часть (ПЧ): $g(x) = 4 - \sin^2 x$.

Значение функции синус находится в пределах $[-1; 1]$, поэтому $0 \le \sin^2 x \le 1$. Отсюда $g(x) = 4 - \sin^2 x \le 4$. Равенство $g(x)=4$ достигается при $\sin^2 x = 0$, то есть при $x=k\pi$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Исходное уравнение $f(x)=g(x)$ эквивалентно системе, в которой обе части равны 4:

$f(x) = 4$ и $g(x) = 4$

Первое уравнение имеет единственный корень $x=0$. Второе имеет корни $x=k\pi$. Единственным общим решением является $x=0$.

Следовательно, уравнение имеет единственный корень $x=0$.

Ответ: 0