Номер 7.17, страница 52, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

7.17. Парашютист совершает прыжок с аэроплана. Скорость его падения определяется формулой $V = 50(1 - e^{-0.2t})$ м/с. Через какое время скорость будет равна 40 м/с?

По условию задачи, скорость падения парашютиста $\text{V}$ в зависимости от времени $\text{t}$ описывается формулой $V = 50(1 - e^{-0.2t})$. Нам необходимо найти время $\text{t}$, при котором скорость $\text{V}$ будет равна 40 м/с.

Подставим значение $V = 40$ в данную формулу: $40 = 50(1 - e^{-0.2t})$

Для того чтобы найти $\text{t}$, решим это уравнение. Сначала разделим обе части уравнения на 50: $\frac{40}{50} = 1 - e^{-0.2t}$ $0.8 = 1 - e^{-0.2t}$

Теперь выразим член с экспонентой, перенеся его в левую часть, а 0.8 в правую: $e^{-0.2t} = 1 - 0.8$ $e^{-0.2t} = 0.2$

Чтобы избавиться от экспоненты, возьмем натуральный логарифм (логарифм по основанию $\text{e}$) от обеих частей уравнения: $\ln(e^{-0.2t}) = \ln(0.2)$

Используя основное свойство логарифма $\ln(e^x) = x$, получаем: $-0.2t = \ln(0.2)$

Наконец, выразим $\text{t}$: $t = \frac{\ln(0.2)}{-0.2}$

Можно упростить выражение, используя свойство логарифма $\ln(0.2) = \ln(\frac{1}{5}) = \ln(5^{-1}) = -\ln(5)$: $t = \frac{-\ln(5)}{-0.2} = \frac{\ln(5)}{0.2} = 5\ln(5)$

Вычислим приближенное значение времени. Используя калькулятор, находим $\ln(5) \approx 1.6094$. $t \approx 5 \times 1.6094 \approx 8.047$ с.

Ответ: через $5\ln(5)$ секунд, что примерно равно 8.05 с.