Номер 7.18, страница 52, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

7.18. Температура жидкости, помещенной в морозильную камеру холодильника, подчиняется закону $T = 4 + 96 \cdot e^{-0.08t} C^{\circ}$, где $\text{t}$ - время (в минутах). Найдите время, необходимое для охлаждения жидкости до: 1) 25 $C^{\circ}$; 2) 5 $C^{\circ}$. Какова температура в морозильной камере?

1) 25 Co

Для нахождения времени, необходимого для охлаждения жидкости до 25 Co , подставим значение температуры $T = 25$ в заданный закон:

$25 = 4 + 96 \cdot e^{-0.08t}$

Сначала вычтем 4 из обеих частей уравнения, чтобы изолировать член с экспонентой:

$25 - 4 = 96 \cdot e^{-0.08t}$

$21 = 96 \cdot e^{-0.08t}$

Теперь разделим обе части на 96:

$e^{-0.08t} = \frac{21}{96}$

Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 3:

$e^{-0.08t} = \frac{7}{32}$

Чтобы найти $\text{t}$, возьмем натуральный логарифм (ln) от обеих частей уравнения:

$\ln(e^{-0.08t}) = \ln(\frac{7}{32})$

Используя свойство логарифма $\ln(e^x) = x$, получаем:

$-0.08t = \ln(\frac{7}{32})$

Теперь выразим $\text{t}$:

$t = -\frac{\ln(\frac{7}{32})}{0.08}$

Применим свойство логарифма $\ln(\frac{a}{b}) = -\ln(\frac{b}{a})$:

$t = \frac{\ln(\frac{32}{7})}{0.08}$

Вычислим приближенное значение:

$t \approx \frac{\ln(4.5714)}{0.08} \approx \frac{1.5198}{0.08} \approx 18.998$

Округляя, получаем, что время охлаждения составляет примерно 19 минут.

Ответ: примерно 19 минут.

2) 5 Co

Аналогично первому пункту, подставим значение температуры $T = 5$ в закон охлаждения:

$5 = 4 + 96 \cdot e^{-0.08t}$

Вычтем 4 из обеих частей:

$5 - 4 = 96 \cdot e^{-0.08t}$

$1 = 96 \cdot e^{-0.08t}$

Разделим обе части на 96:

$e^{-0.08t} = \frac{1}{96}$

Возьмем натуральный логарифм от обеих частей:

$\ln(e^{-0.08t}) = \ln(\frac{1}{96})$

$-0.08t = \ln(\frac{1}{96})$

Используя свойство логарифма $\ln(\frac{1}{a}) = -\ln(a)$, преобразуем уравнение:

$-0.08t = -\ln(96)$

$0.08t = \ln(96)$

Выразим $\text{t}$:

$t = \frac{\ln(96)}{0.08}$

Вычислим приближенное значение:

$t \approx \frac{4.5643}{0.08} \approx 57.054$

Округляя, получаем, что время охлаждения составляет примерно 57 минут.

Ответ: примерно 57 минут.

Какова температура в морозильной камере?

Формула $T = 4 + 96 \cdot e^{-0.08t}$ описывает процесс охлаждения тела по закону Ньютона-Рихмана. Температура жидкости $\text{T}$ со временем $\text{t}$ приближается к температуре окружающей среды.

В данной формуле слагаемое $\text{4}$ является постоянной величиной, а слагаемое $96 \cdot e^{-0.08t}$ уменьшается с течением времени, так как показатель степени у экспоненты отрицательный.

Температура в морозильной камере — это та температура, к которой стремится жидкость при очень большом времени охлаждения, то есть при $t \to \infty$.

Найдем предел температуры $\text{T}$ при $t \to \infty$:

$\lim_{t \to \infty} T(t) = \lim_{t \to \infty} (4 + 96 \cdot e^{-0.08t})$

Так как при $t \to \infty$, выражение $-0.08t \to -\infty$, то $e^{-0.08t} \to 0$.

Следовательно, предел равен:

$\lim_{t \to \infty} T(t) = 4 + 96 \cdot 0 = 4$

Таким образом, температура жидкости асимптотически приближается к 4 Co , что и является температурой в морозильной камере.

Ответ: 4 Co .