Номер 7.24, страница 53, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

7.24. Решите уравнение:

1) $\sqrt{3^{x-54}} - 7 \cdot \sqrt{3^{x-58}} = 162;$

2) $5^{2x-1} + 4^x = 5^{2x} - 4^{x+1};$

3) $6^x + 4^{x+1} = 2^x + 2^{x+1} + 2^{x+2};$

4) $9^x - 2^{x+0.5} = 2^{x+3.5} - 3^{2x-1}.$

1)

Исходное уравнение: $ \sqrt{3^{x-54}} - 7 \cdot \sqrt{3^{x-58}} = 162 $.

Представим корни как степени $1/2$:

$ (3^{x-54})^{1/2} - 7 \cdot (3^{x-58})^{1/2} = 162 $

Используя свойство степени $(a^m)^n = a^{mn}$, получаем:

$ 3^{\frac{x-54}{2}} - 7 \cdot 3^{\frac{x-58}{2}} = 162 $

$ 3^{\frac{x}{2} - 27} - 7 \cdot 3^{\frac{x}{2} - 29} = 162 $

Вынесем за скобки общий множитель с наименьшим показателем, то есть $3^{\frac{x}{2} - 29}$. Для этого представим первый член $3^{\frac{x}{2} - 27}$ в виде $3^{(\frac{x}{2} - 29) + 2} = 3^{\frac{x}{2} - 29} \cdot 3^2 = 9 \cdot 3^{\frac{x}{2} - 29}$.

Уравнение принимает вид:

$ 9 \cdot 3^{\frac{x}{2} - 29} - 7 \cdot 3^{\frac{x}{2} - 29} = 162 $

$ (9-7) \cdot 3^{\frac{x}{2} - 29} = 162 $

$ 2 \cdot 3^{\frac{x}{2} - 29} = 162 $

Разделим обе части на 2:

$ 3^{\frac{x}{2} - 29} = 81 $

Так как $81 = 3^4$, мы можем записать:

$ 3^{\frac{x}{2} - 29} = 3^4 $

Приравниваем показатели степеней:

$ \frac{x}{2} - 29 = 4 $

$ \frac{x}{2} = 33 $

$ x = 66 $

Ответ: $x=66$.

2)

Исходное уравнение: $ 5^{2x-1} + 4^x = 5^{2x} - 4^{x+1} $.

Сгруппируем члены с одинаковыми основаниями в разных частях уравнения:

$ 4^x + 4^{x+1} = 5^{2x} - 5^{2x-1} $

Вынесем общие множители за скобки в левой и правой частях. В левой части вынесем $4^x$, в правой — $5^{2x-1}$.

$ 4^x(1 + 4^1) = 5^{2x-1}(5^1 - 1) $

$ 4^x(5) = 5^{2x-1}(4) $

$ 5 \cdot 4^x = 4 \cdot 5^{2x-1} $

Используем свойство степени $a^{m-n} = a^m/a^n$ для члена $5^{2x-1} = \frac{5^{2x}}{5^1}$.

$ 5 \cdot 4^x = 4 \cdot \frac{5^{2x}}{5} $

$ 5 \cdot 4^x = \frac{4}{5} \cdot 5^{2x} $

Разделим обе части на $4^x$ и умножим на $\frac{5}{4}$, чтобы сгруппировать степени с $\text{x}$ в одной части:

$ \frac{5 \cdot 5}{4} = \frac{5^{2x}}{4^x} $

$ \frac{25}{4} = (\frac{5^2}{4})^x $

$ \frac{25}{4} = (\frac{25}{4})^x $

Отсюда следует, что показатель степени $\text{x}$ равен 1.

$ x=1 $

Ответ: $x=1$.

3)

Исходное уравнение: $ 6^x + 4^{x+1} = 2^x + 2^{x+1} + 2^{x+2} $.

Упростим правую часть уравнения, вынеся за скобки $2^x$:

$ 2^x + 2^x \cdot 2^1 + 2^x \cdot 2^2 = 2^x(1+2+4) = 7 \cdot 2^x $

Преобразуем левую часть. $6^x = (2 \cdot 3)^x = 2^x \cdot 3^x$ и $4^{x+1} = 4 \cdot 4^x = 4 \cdot (2^2)^x = 4 \cdot 2^{2x}$.

Подставим преобразованные выражения в исходное уравнение:

$ 2^x \cdot 3^x + 4 \cdot 2^{2x} = 7 \cdot 2^x $

Поскольку $2^x > 0$ для любого $\text{x}$, мы можем разделить обе части уравнения на $2^x$:

$ \frac{2^x \cdot 3^x}{2^x} + \frac{4 \cdot 2^{2x}}{2^x} = \frac{7 \cdot 2^x}{2^x} $

$ 3^x + 4 \cdot 2^x = 7 $

Получилось трансцендентное уравнение. Рассмотрим функцию $f(x) = 3^x + 4 \cdot 2^x - 7$. Ее производная $f'(x) = 3^x \ln 3 + 4 \cdot 2^x \ln 2$ всегда положительна, следовательно, функция $f(x)$ строго возрастает и может иметь не более одного корня.

Проверкой можно заметить, что $f(0)=3^0+4 \cdot 2^0-7 = 1+4-7=-2$ и $f(1)=3^1+4 \cdot 2^1-7 = 3+8-7=4$. Так как функция непрерывна и меняет знак на интервале $(0,1)$, на этом интервале существует единственный корень. Однако этот корень не является целым или простым рациональным числом и не может быть выражен через элементарные функции. Вероятно, в условии задачи имеется опечатка.

Ответ: Уравнение сводится к виду $3^x + 4 \cdot 2^x = 7$, которое не имеет решений в целых или простых рациональных числах. Аналитическое решение в элементарных функциях отсутствует.

4)

Исходное уравнение: $ 9^x - 2^{x+0.5} = 2^{x+3.5} - 3^{2x-1} $.

Сгруппируем члены с одинаковыми основаниями:

$ 9^x + 3^{2x-1} = 2^{x+3.5} + 2^{x+0.5} $

Преобразуем левую часть. Так как $9^x = (3^2)^x = 3^{2x}$, то:

$ 3^{2x} + 3^{2x-1} = 3^{2x-1}(3^1 + 1) = 4 \cdot 3^{2x-1} $

Преобразуем правую часть:

$ 2^{x+3.5} + 2^{x+0.5} = 2^{x+0.5}(2^3 + 1) = 2^{x+0.5}(8+1) = 9 \cdot 2^{x+0.5} $

Уравнение принимает вид:

$ 4 \cdot 3^{2x-1} = 9 \cdot 2^{x+0.5} $

Используем свойства степеней $a^{m-n} = a^m/a^n$ и $a^{m+n}=a^m \cdot a^n$:

$ 4 \cdot \frac{3^{2x}}{3} = 9 \cdot 2^x \cdot 2^{0.5} $

$ \frac{4}{3} \cdot (3^2)^x = 9\sqrt{2} \cdot 2^x $

$ \frac{4}{3} \cdot 9^x = 9\sqrt{2} \cdot 2^x $

Соберем степени с $\text{x}$ в левой части, а константы — в правой:

$ \frac{9^x}{2^x} = \frac{9\sqrt{2} \cdot 3}{4} $

$ (\frac{9}{2})^x = \frac{27\sqrt{2}}{4} $

Представим правую часть как степень с основанием $\frac{9}{2}$:

$ \frac{27\sqrt{2}}{4} = \frac{3^3 \cdot 2^{1/2}}{2^2} = 3^3 \cdot 2^{1/2 - 2} = 3^3 \cdot 2^{-3/2} = (3^2)^{3/2} \cdot (2^{-1})^{3/2} = 9^{3/2} \cdot (\frac{1}{2})^{3/2} = (\frac{9}{2})^{3/2} $

Теперь уравнение выглядит так:

$ (\frac{9}{2})^x = (\frac{9}{2})^{3/2} $

Приравнивая показатели, получаем:

$ x = \frac{3}{2} $

Ответ: $x=1,5$.